%@metapost:bordeaux1997.mp %@Titre: Bordeaux -- 1997 {\em L'unité de longueur est le mètre.} \paragraph{Première Partie} Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=4$ et $AC=5$. \par\compo{2}{bordeaux1997}{1}{ Soit $M$ un point du segment $[AC]$. On pose $AM=x$.\par La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe le segment $[BC]$ en $N$. \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Entre quelles valeurs peut varier $x$? \par Quelle est, en fonction de $x$, la longueur $CM$? \item Démontrer que $MN=4-0,8x$. \end{enumerate} \item Calculer, en fonction de $x$, l'aire ${\cal A}(x)$ du trapèze $ABNM$. \end{myenumerate} } \paragraph{Deuxième Partie} $$\includegraphics{bordeaux1997.3}$$ Le schéma ci-dessus représente une citerne posée sur un sol horizontal. Elle a la forme d'un prisme droit $ABCDEF$ : \begin{itemize} \item sa base $ABC$ est le triangle décrit dans la première partie; \item $BE=10$. \end{itemize} \begin{myenumerate} \item Quel est, en mètres cubes, le volume de la citerne ? \item La citerne contient de l'eau jusqu'au niveau du plan $MNPQ$, comme l'indique le schéma.\par $x$ désignant la longueur $AM$, démontrer que le volume ${\cal V}(x)$ est égal à $4x(10-x)$. \item Calculer le volume d'eau contenue dans la citerne lorsqu'elle est remplie à mi-hauteur. \item \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant : $$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$&1&1,4&1,5&1,6&2\\ \hline ${\cal V}(x)=4x(10-x)$&&&&&\\ \hline \end{tabular} $$ \item En déduire un encadrement à 0,1 près de la hauteur d'eau lorsque la citerne est remplie à la moitié de sa capacité. \end{enumerate} \end{myenumerate}