%@metapost:limoges1997.mp %@Titre: Limoges -- 1997 Dans le repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$ d'unité 1~cm ci-après, on donne le trapèze rectangle $OABC$, tel que $OA=6$~cm; $AB=3$~cm; $OC=12$~cm. \begin{myenumerate} \item Sur la base $[OC]$, on place le point $E$ tel que $CE=3$~cm, et par $E$ on trace la parallèle à la droite $(OA)$ qui coupe la diagonale $[AC]$ en $M$. \par Calculer la longueur $ME$. \item Par $M$ on trace la parallèle à la droite $(AB)$ qui coupe la droite $(BC)$ en $F$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CM}{CA}$. \item En déduire le parallélisme des droites $(OB)$ et $(EF)$. \end{enumerate} \item La droite $(AC)$ coupe la droite $(OB)$ en $H$, on veut calculer la longueur $MH$. \begin{enumerate} \item Dans le repère $(O,\,I,\,J)$, donner par lecture graphique les coordonnées des points $A$, $C$, $B$. \item \'Ecrire une équation de la droite $(OB)$. \item \'Ecrire une équation de la droite $(AC)$. \item Résoudre le système d'équations : $$\left\{\begin{tabular}{l} $y=2x$\\ \\ $y=-\dfrac12x+6$\\ \end{tabular} \right. $$ \par Que représente géométriquement la solution de ce système? \item Dans cette question, on pose $H(2,4;4,8)$.\par Calculer une valeur approchée de la longueur $HM$. \end{enumerate} $$\includegraphics{limoges1997.3}$$ \end{myenumerate}