%@metapost:nantes1997.mp %@Titre: Nantes -- 1997 \par\compo{3}{nantes1997}{1}{On considère un triangle équilatéral $ABC$. Les droites $(OA)$, $(DB)$ et $(OC)$ sont les trois médiatrices du triangle $ABC$. La longueur $DB$ est 6~cm. La droite $(OA)$ coupe le segment $[BC]$ en $A'$. \par{\em On ne demande pas de reproduire la figure}. } \begin{myenumerate} \item Justifier que l'angle $\widehat{OBA'}$ mesure 30\degres. \item \begin{enumerate} \item En utilisant $\sin\widehat{OBA'}$, démontrer que la longueur du segment $[OA']$ est 3~cm. \item Démontrer que la longueur du segment $[BA']$ est $3\sqrt3$~cm. \item En déduire la longueur exacte du segment $[BC]$. \end{enumerate} \item Soit $E$ le point du segment $[OC]$ tel que $DE=2$~cm. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par le point $E$ coupe le segment $[OB]$ en $F$.\par Calculer les longueurs des segments $[OF]$ et $[EF]$. \item Démontrer que l'aire du triangle $COB$ est $9\sqrt3$~cm$^2$. \item Le cercle circonscrit au triangle $ABC$ coupe la droite $(AA')$ en $A$ et en un autre point noté $K$. Démontrer que le quadrilatère $OBKC$ est un losange. \item Calculer l'aire du losange $OBKC$. \end{myenumerate}