%@metapost:aix1998.mp %@Titre: Aix -- 1998 \par\compo{6}{aix1998}{1}{\paragraph{Prélude} \begin{myenumerate} \item D'après la figure ci-contre, tracer $ABCP$ en respectant les données suivantes : $AB=6$~cm; $BC=8$~cm ; $BM=3$~cm ; et $(CP)//(AB)$. \item Mesurer les angles $\widehat{BAM}$ et $\widehat{MAC}$. \par Pourquoi ces mesures ne permettent-elles pas d'affirmer que la droite $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$? \end{myenumerate} } \par\vspace{2mm}{\em Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \paragraph{Première Partie} \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $AC$. \item Calculer $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAM}$ le plus précisément possible. \par Expliquer pourquoi les valeurs obtenues ne permettent pas d'affirmer que la droite $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$. \end{enumerate} \item Calculer la longueur $CP$. \item Quelle est la nature du triangle $ACP$ ? Que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{MAC}$ et $\widehat{CPM}$ ? \item Démontrer alors que $\widehat{MAC}=\widehat{BAM}$ et donc que la droite $(AM)$ est bien la bissectrice de $\widehat{BAC}$. \end{myenumerate} \paragraph{Deuxième Partie} \begin{myenumerate} \item La droite $(AM)$ est, d'après la première partie, la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ . Sur la figure tracée à la première question du prélude : \begin{itemize} \item tracer la bissectrice, $(d)$, de l'angle $\widehat{ABM}$; \item nommer $O$ le point d'intersection de la droite $(d)$ et de la droite $(AM)$; \item tracer la hauteur issue de $O$ du triangle $AOB$ et la hauteur issue de $O$ du triangle $BOM$ (ces hauteurs sont des rayons du cercle inscrit dans le triangle $BAC$); \item tracer ce cercle. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $ABM$. \item Exprimer l'aire du triangle $AOB$ et l'aire du triangle $BOM$ en fonction du rayon $r$ du cercle inscrit dans le triangle $BAC$. \item Trouver une relation entre ces trois aires. \par En déduire le rayon $r$. \end{enumerate} \end{myenumerate}