%@metapost:poitiers1999.mp %@Titre: Poitiers -- 1999 \par\compo{3}{poitiers1999}{1}{{\em L'unité de longueur est le centimètre}. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle $ABCD$. \par On donne $AB=3$, $AD=4$, $CD=5$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$.} \paragraph{Première partie} \begin{myenumerate} \item Reproduire la figure en vraie grandeur.\par{\em On pourra commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré et la compléter au fur et à mesure du problème.} \item Démontrer que le triangle $BCD$ est isocèle. \item Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze $ABCD$ est égale à 16. \item Montrer que $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$. \item Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $S$. Placer le point $S$. \par Démontrer que les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{ABS}$ ont même mesure. \end{myenumerate} \paragraph{Deuxième partie} \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item En posant $SA=x$, démontrer que$$\frac{x}{x+4}=\frac35$$ \item En déduire la distance $SA$. \end{enumerate} \item Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle $\widehat{ASB}$. \item Construire le point $B'$, symétrique du point $B$ par rapport à la droite $(AD)$. \par Construire le point $S'$, image du point $B'$ par la translation de vecteur $\vecteur{BA}$. \item Tracer le segment $[S'D]$. \par On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base $ABCD$, de sommet $S$ et de hauteur $[SA]$. \par Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur. \item Calculer le volume de cette pyramide. \end{myenumerate}