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%@metapost:poitiers1999.mp
%@Titre: Poitiers -- 1999
\par\compo{3}{poitiers1999}{1}{{\em L'unité de longueur est le
centimètre}. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle
$ABCD$.  \par On donne $AB=3$, $AD=4$, $CD=5$. Les droites $(AB)$ et
$(CD)$ sont parallèles. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en
$O$.}
\paragraph{Première partie}
\begin{myenumerate}
\item Reproduire la figure en vraie grandeur.\par{\em On pourra
commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré
et la compléter au fur et à mesure du problème.}
\item Démontrer que le triangle $BCD$ est isocèle.
\item Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze $ABCD$ est
égale à 16.
\item Montrer que $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$.
\item Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $S$. Placer le point
$S$.
\par Démontrer que les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{ABS}$ ont
même mesure.
\end{myenumerate}
\paragraph{Deuxième partie}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item En posant $SA=x$, démontrer que$$\frac{x}{x+4}=\frac35$$
\item En déduire la distance $SA$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de
l'angle $\widehat{ASB}$.
\item Construire le point $B'$, symétrique du point $B$ par rapport à
la droite $(AD)$.
\par Construire le point $S'$, image du point $B'$ par la translation
de vecteur $\vecteur{BA}$.
\item Tracer le segment $[S'D]$.
\par On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de
la pyramide de base $ABCD$, de sommet $S$ et de hauteur $[SA]$.
\par Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur
la figure les segments de même longueur.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{myenumerate}