%@metapost:nordsep2000.mp %@Titre: Nord (Sept.) -- 2000 \textbf{Les trois parties sont indépendantes.} \begin{center} \textbf{\Large{Partie I}} \end{center} \par\compo{2}{nordsep2000}{1}{ La figure 1 ci-contre est à compléter : $B$ et $C$ sont deux points du cercle $\cal{(C)}$ de centre $O$ et de diamètre $[AE]$. \begin{myenumerate} \item Démontrer que $ACE$ et $ABE$ sont des triangles rectangles. \item La parallèle à $(EC)$ passant par $B$ coupe $[AC]$ en $K$. \\La parallèle à $(EB)$ passant par $C$ coupe $[AB]$ en $K$. \\$(BK)$ et $(CJ)$ se coupent en $H$. Démontrer que $BCHE$ est un parallélogramme. \item Placer le milieu $A'$ de $[BC]$ et démontrer que $A'$ est le milieu de $[HE]$. \item Dans le triangle $AHE$, démontrer que : $AH=2 \times OA'$. \item Démontrer que $H$ est le point de concours des hauteurs. \end{myenumerate} } \begin{center} \textbf{\Large{Partie II}} \end{center} \par\compo{3}{nordsep2000}{1}{ \textit{La figure 2 est donnée ci-contre.} \\Le triangle $ABC$ inscrit dans le cercle $\cal{(C)}$ de centre $O$, est tel que $\widehat{BOC}=90$\degres. \begin{myenumerate} \item Combien mesure l'angle $\widehat{BAC}$ ? Justifier la réponse. \item $A'$ est le milieu de $[BC]$. Démontrer que : $OA'=\dfrac12BC$. \item On appelle $H$ le point d'intersection des hauteurs du triangle $ABC$. \\On rappelle que : $AH=2 \times OA'$. En déduire que : $AH=BC$. \end{myenumerate} } \begin{center} \textbf{\Large{Partie III}} \end{center} On considère un triangle $ABC$ dont l'angle de sommet $A$ mesure 45\degres. \begin{myenumerate} \item Tracer la hauteur issue de $C$. Elle coupe le segment $[AB]$ en $J$. Démontrer que $JC=JA$. \item Tracer la hauteur issue de $A$. Elle coupe le segment $[BC]$ en $I$ et le segment $[JC]$ en $H$. \\Démontrer que $\widehat{BAI}=\widehat{JCB}$. \item Dans le triangle rectangle $HJA$, exprimer $\tan \widehat{JAH}$. \\Dans le triangle rectangle $BJC$, exprimer $\tan \widehat{JCB}$. \\En déduire que : $JB=JH$. \item Quelle est l'image du triangle $BJC$ par la rotation de centre $J$ qui transforme $C$ en $A$. \\Comparer les longueurs $HA$ et $BC$. \end{myenumerate}