%@metapost:nord2002.mp %@Titre: Groupe Nord -- 2002 $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$~cm et $AD=4$~cm. \begin{center} \textbf{\Large{Partie I}} \end{center} \par\compo{3}{nord2002}{1}{ $M$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BM=2$~cm. $N$ est le point du segment $[CD]$ tel que $CN=2$~cm. } \begin{myenumerate} \item Calculer $AM$ sous la forme $a\sqrt{b}$ ($b$ nombre entier le plus petit possible). \item Démontrer que l'aire du quadrilatère $AMCN$ est $10cm^{2}$. \end{myenumerate} \begin{center} \textbf{\Large{Partie II}} \end{center} \par\compo{4}{nord2002}{1}{ Les points $M$ et $N$ peuvent se déplacer respectivement sur les segments $[BC]$ et $[CD]$ de façon que $BM=CN=x$ ($0<x\leqslant4$). } \begin{myenumerate} \item Exprimer l'aire du triangle $ABM$ en fonction de $x$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $DN$ en fonction de $x$. \item Démontrer que l'aire du triangle $ADN$ en fonction de $x$ est $-2x+12$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans un repère orthonormé $(O;I,J)$ avec $OI=OJ=1$~cm, représenter graphiquement les fonctions affines \begin{center} $f: x \longmapsto f(x)=3x \quad $ et $\quad g: x \longmapsto g(x)=-2x+12$. \end{center} \item Calculer les coordonnées du point $R$ intersection de ces deux représentations. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour quelle valeur de $x$ les aires des triangles $ABM$ et $ADN$ sont-elles égales ? Justifier la réponse. \item Pour cette valeur de $x$, calculer l'aire du quadrilatère $AMCN$. \end{enumerate} \end{myenumerate}