%@metapost:groupeouest2003.mp %@Titre: Groupe Ouest -- 2003 \par\compo{2}{groupeouest2003}{1}{ On donne : \begin{itemize} \item un cercle $\cal{(C)}$ de centre $O$ et de rayon 6~cm; \item un diamètre $[AB]$ de ce cercle $\cal{(C)}$; \item le point $N$ du segment $[OB]$ tel que $BN=4$~cm; \item le point $M$ situé à 3,2~cm de $B$ et tel que le triangle $BMN$ est rectangle en $M$. \end{itemize} } \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur du segment $[MN]$. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{MBN}$ (arrondir à un degré près). La droite $(BM)$ recoupe le cercle $\cal{(C)}$ en $P$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $BPA$ est rectangle en $P$. \item En déduire que les droites $(PA)$ et $(MN)$ sont parallèles. \end{enumerate} \item On sait maintenant que le triangle $BPA$ est un agrandissement du triangle $BMN$. \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient d'agrandissement. \item Calculer $BP$. \item Calculer l'aire du triangle $BMN$ et en déduire l'aire du triangle $BPA$. \end{enumerate} \item Soit $E$ le milieu de $[BN]$. Démontrer que les droites $(PO)$ et $(ME)$ sont parallèles. \item La droite $(PO)$ recoupe le cercle $\cal{(C)}$ en $K$ et la droite $(PN)$ coupe la droite $(BK)$ en $I$. On sait que lorsqu'un point appartient à une médiane et est situé aux deux tiers de cette médiane en partant du sommet, alors ce point est le centre de gravité du triangle. \'Ecrire le rapport $\dfrac{BN}{BO}$ sous forme d'une fraction irréductible, puis démontrer que $I$ est le milieu du segment $[BK]$. \end{myenumerate}