%@metapost:gpeest2004.mp %@Titre: Groupe Est -- 2004 \par On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=6$~cm et $AC=4$~cm. \par\vspace{2mm}\par\centerline{\bf Première Partie}\par \begin{myenumerate} \item Construire ce triangle. \item Placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $BM=3,5$~cm et tracer la droite passant par le point $M$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$; elle coupe le segment $[BC]$ en $E$. \begin{enumerate} \item Calculer $AM$. \item Démontrer que les droites $(AC)$ et $(ME)$ sont parallèles. \item Calculer $EM$ (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). \item Le triangle $AEM$ est-il un triangle isocèle en $M$ ? \end{enumerate} \end{myenumerate} \par\centerline{\bf Deuxième Partie} \par\compo{4}{gpeest2004}{1}{On souhaite placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ de fa\c con à ce que le triangle $AEM$ soit isocèle en $M$ comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire. On rappelle que $AB=6$~cm et $AC=4$~cm.} \begin{myenumerate} \item On pose $BM=x$ (on a donc $0\leqslant x\leqslant6$). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que \[ME=\frac23x\] \item Première résolution du problème posé. \begin{enumerate} \item Montrer que $MA=6-x$. \item Calculer $x$ pour que le triangle $AME$ soit isocèle en $M$. \end{enumerate} \item Soit un repère orthogonal avec pour unités 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Représenter, dans ce repère, les fonctions $f$ et $g$ définies par : \[f(x)=\frac23x\qquad\mbox{et}\qquad g(x)=6-x\] pour $0\leqslant x\leqslant6$. \item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2. b.}. \end{enumerate} \end{myenumerate}