%@metapost:asie2004.mp %@Titre: Asie -- 2004 \par $ABCD$ est un losange dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $O$.\par On donne $AB=5$~cm et $AC=6$~cm. \[\includegraphics{asie2004.2}\] {\em Sur cette figure, les dimensions ne sont pas respectées.} \par\centerline{\bf Partie I} \begin{myenumerate} \item Calculer $BO$, justifier. En déduire que $BD=8$~cm. \item Calculer la mesure arrondie au degré de l'angle $\widehat{ABO}$. \item Calculer l'aire du losange $ABCD$. \end{myenumerate} \par\centerline{\bf Partie II} \par On place un point $M$ sur le segment $[AB]$.\par La droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(BD)$ coupe le côté $[AD]$ en $N$. \begin{myenumerate} \item On suppose que $AM=3$. Calculer $AN$ et $MN$. Justifier. \item On pose $AM=x$. Montrer que $MN=1,6x$. \end{myenumerate} \par\centerline{\bf Partie III} \par Pour cette partie, on a encore $AM=x$. \par La droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(AC)$ coupe le côté $[BC]$ en $P$. \begin{myenumerate} \item Exprimer $BM$ en fonction de $x$, puis montrer que $MP=6-1,2x$. \item Calculer la valeur de $x$ pour laquelle le triangle $MNP$ est isocèle en $M$. \end{myenumerate} \par\centerline{\bf Partie IV} \begin{myenumerate} \item Montrer que la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(MN)$ puis que $AM=AN$.\par En déduire que la droite $(AC)$ est la médiatrice du segment $[MN]$. \par De la même façon, on démontrerait que la droite $(BD)$ est la médiatrice du segment $[MP]$. \item En déduire le rôle du point $O$ pour le triangle $MNP$. \end{myenumerate}