%@metapost:gpeestsep20041.mp %@Titre: Groupe Est (Sept.) -- 2004 Monsieur Jean possède un terrain qu'il souhaite partager en deux lots de même aire. Ce terrain a la forme d'un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=50$~m et $AC=80$~m. \par\compo{2}{gpeest2004}{1}{ \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $ABC$. \item En déduire que l'aire de chaque lot doit être de 1\,000~m$^2$. \end{enumerate} \item Dans un premier temps, il pense faire deux lots ayant la forme de deux triangles $AMC$ et $BMC$ comme indiqué sur la figure ci-contre.\\ On pose $AM=x$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle $AMC$. \item En déduire que l'aire du triangle $BMC$ est égale à $2\,000-40x$. \item Déterminer $x$ pour que les aires des deux triangles $AMC$ et $BMC$ soient égales. \item Quelle est alors la position du point $M$ sur le segment $[AB]$ ? \end{enumerate} \end{myenumerate}} \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{2} \item On considère les deux fonctions affines $f$ et $g$ définies par \[f(x)=40x\qquad\mbox{et}\qquad g(x)=2\,000-40x\] Sur une feuille de papier millimétré, construire un repère orthogonal : \begin{itemize} \item l'origine sera placée en bas à gauche, \item sur l'axe des abscisses, on prendra 1~cm pour 5 unités (1~cm pour 5~m), \item sur l'axe des ordonnées, on prendra 1~cm pour 100 unités (1~cm pour 100~m$^2$). \end{itemize} \begin{enumerate} \item Dans ce repère, représenter graphiquement les fonctions affines $f$ et $g$ pour $0\leqslant x\leqslant50$. \item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2. c.}. \end{enumerate} \end{myenumerate} \par\compo{3}{gpeestsep2004}{1}{ \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{3} \item Finalement, Monsieur Jean se décide à partager son terrain en un lot triangulaire $AMN$ et un lot ayant la forme d'un trapèze $BMNC$ comme indiqué sur la figure ci-contre avec $(MN)$ parallèle à $(BC)$.\\On pose $AM=x$. \begin{enumerate} \item En utilisant la propriété de Thalès, exprimer $AN$ en fonction de $x$. \item En déduire que l'aire du triangle $AMN$ est égale à $\dfrac45x^2$. \end{enumerate} \end{myenumerate}} \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{4} \item Le graphique suivant représente l'aire en m$^2$ du triangle $AMN$ exprimée en fonction de $x$. En utilisant ce graphique, déterminer $x$, à un mètre près, pour que les aires des deux lots $AMN$ et $BMNC$ soient égales. \end{myenumerate}