%@Titre: Groupe Nord -- 2005 \begin{myenumerate} \item Sur la page annexe, à rendre avec la copie, dans le repère orthonormé $(O,I,J)$ tel que $OI=OJ=1$~cm, placer les points $A(0;4)$; $B(3;2)$; $C(-1;-4)$. \item Calculer la longueur $BC$, donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. \item En admettant que $AB=\sqrt{13}$~cm et $AC=\sqrt{65}$~cm, démonter que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. \item Placer dans le repère le point $E$, image du point $C$ dans la translation de vecteur $\vecteur{BA}$. \item Démontrer que le quadrilatère $ABCE$ est un rectangle. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item\[\includegraphics{gpenord2005.1}\] \item On a \[\Eqalign{ BC^2&=(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2\cr BC^2&=(-1-3)^2+(-4-2)^2\cr BC^2&=(-4)^2+(-6)^2\cr BC^2&=16+36\cr BC^2&=52\cr BC&=\sqrt{52}\cr BC&\approx7,2\,\mbox{cm}\cr }\] \item Dans le triangle $ABC$, $[AC]$ est le plus grand côté. \[\left. \begin{array}{l} AC^2=\sqrt{65}^2=65\\ \\ AB^2+BC^2=\sqrt{13}^2+\sqrt{52}^2=13+52=65\\ \end{array} \right\}AC^2=AB^2+BC^2 \] Comme $AC^2=AB^2+BC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore. \item {\em Voir ci-dessus.} \item Comme $E$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\vecteur{BA}$ alors $\vecteur{CE}=\vecteur{BA}$. \\Comme $\vecteur{CE}=\vecteur{BA}$ alors le quadrilatère $ABCE$ est un parallélogramme. \\De plus, il possède un angle droit d'après la question 3/. Donc $ABCE$ est un rectangle. \end{myenumerate}