%@Titre: Groupe Nord -- 2005 Monsieur Martin habite Petitville. Monsieur Gaspard habite à une distance de 900~km de Petitville. \par\`A huit heures du matin, les deux personnes commencent à rouler l'un vers l'autre : \begin{itemize} \item Monsieur Martin quitte Petitville et roule à 60~km/h ; \item Monsieur Gaspard se dirige vers Petitville et roule à 90~km/h. \end{itemize} On note $x$ le temps écoulé depuis huit heures du matin ($x$ est exprimé en heures). Ainsi, quand il est huit heures du matin, $x=0$. \par Après avoir roulé pendant une heure, c'est-à-dire quand $x=1$, Monsieur Martin est à 60~km de Petitville et Monsieur Gaspard est lui à 810~km de Petitville. \begin{myenumerate} \item \`A quelle distance de Petitville Monsieur Martin se situe-t-il quand $x=4$ ? quand $x=10$ ? \item \`A quelle distance de Petitville Monsieur Gaspard se situe-t-il quand $x=4$ ? quand $x=10$ ? \item Exprimer en fonction de $x$ la distance qui sépare Monsieur Martin de Petitville.\\Exprimer en fonction de $x$ la distance qui sépare Monsieur Gaspard de Petitville. \item On donne les fonctions suivantes $f:x\mapsto60x$ et $g:x\mapsto900-90x$.\par Recopier \underline{\bf sur la copie} les tableaux suivants et les compléter : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&4&10\\ \hline f(x)&&&&\\ \hline \end{array} \kern1cm \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&4&10\\ \hline g(x)&&&&\\ \hline \end{array} \] \item Représenter graphiquement les fonctions $f$ et $g$ sur une feuille de papier millimétré en prenant : \begin{itemize} \item en abscisse : 1~cm pour une durée d'une heure ; \item en ordonnée : 1~cm pour une distance de 100~km. \end{itemize} \item \`A l'aide d'une lecture graphique, déterminer : \begin{enumerate} \item la durée au bout de laquelle les deux personnes se croisent. \item \`A quelle distance de Petitville se croisent-ils ? faire apparaître les pointillés nécessaires. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Retrouver le résultat de la question 6/a. en résolvant une équation. \item Retrouver le résultat de la question 6/b. par le calcul. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \[\includegraphics{gpenord2005.3}\] \begin{myenumerate} \item Si $x=4$ alors $60\times4=240$~km : il se trouve à 240~km de Petitville. Si $x=10$ alors $60\times10=600$~km : il se trouve à 600~km de Petitville. \item Si $x=4$ alors $90\times4=360$~km mais il se trouve à $900-360=540$~km de Petitville. Si $x=10$ alors $60\times10=900$~km mais il se trouve à $900-900=0$~km de Petitville (il est arrivé). \item Pour $x$ heures, Monsieur Martin parcourt $60\times x$~km. Donc au bout de $x$ heures, il se trouve à $60x$~km de Petitville. \par Pour $x$ heures, Monsieur Gaspard parcourt $90\times x$~km. Donc au bout de $x$ heures, il se trouve à $900-90x$~km de Petitville. \item\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&4&10\\ \hline f(x)&0&60&240&600\\ \hline \end{array} \kern1cm \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x&0&1&4&10\\ \hline g(x)&900&810&540&0\\ \hline \end{array} \] \item \[\includegraphics{gpenord20051.1}\] \item \begin{enumerate} \item On trouve $x=6$ \item Ils se croisent à 360~km de Petitville. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Lorsqu'ils se croisent, on a \[\Eqalign{ f(x)&=g(x)\cr 60x&=900-90x\cr 60x+90x&=900-90x+90x\cr 150x&=900\cr x&=\frac{900}{150}\cr x&=6\,\mbox{h}\cr }\] Donc ils se croisent au bout de 6\,heures de route. \item Si $x=6$ alors $f(x)=60\times6=360$. Ils se croisent à 360~km de Petitville. \end{enumerate} \end{myenumerate}