%@Titre: Groupe Nord -- 2006 \begin{myenumerate} \item Placer les points $A(-3~;~1)$, $B(-1,5~;~2,5)$ et $C(3~;~-2)$ dans un repère orthonormé $(O;I,J)$. \item Montrer que $AC= \sqrt{45}$. \item Sachant que $AB= \sqrt{4,5}$ et $BC= \sqrt{40,5}$, démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle. \item Placer le point $D$ image de $C$ par la translation de vecteur $\vecteur{BA}$. \item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier votre réponse. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \[\Eqalign{ AC^2&=(x_c-x_A)^2+(y_C-y_A)^2\cr AC^2&=(3-(-3))^2+(-2-1)^2\cr AC^2&=6^2+(-3)^2\cr AC^2&=36+9\cr AC^2&=45\cr AC&=\sqrt{45}\cr }\] \item Dans le triangle $ABC$, $AC$ est le plus grand côté. \[\left. \begin{array}{l} AC^2=45\\ AB^2+BC^2=\left(\sqrt{4,5}\right)^2+\left(\sqrt{40,5}\right)^2=4,5+40,5=45\\ \end{array} \right\}AC^2=AB^2+BC^2 \] Comme $AC^2=AB^2+BC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore. \setcounter{enumi}{4} \item Comme $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $\vecteur{BA}$ alors $\vecteur{CD}=\vecteur{BA}$ et le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.\par De plus, il possède un angle droit : $ABCD$ est donc un rectangle. \end{myenumerate}