%@metapost:etrangersnice2006.mp %@Titre: Centres étrangers (Nice) -- 2006 \par Lors d'une de ses tournées, le chanteur Philibert Collin utilisa une scène en forme de chapiteau : une pyramide régulière à base hexagonale dont les faces latérales s'ouvrirent au début du concert et se refermèrent à la fin. \par\centerline{\bf Partie 1 : La base hexagonale}\par La scène est un hexagone régulier (voir figure ci-dessous) inscrit dans un cercle de centre $O$ et de rayon 10~m. \par\compo{4}{etrangersnice2006}{1}{ \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $OAB$ est un triangle équilatéral. \item En déduire le périmètre de la scène. \end{enumerate} \item Démontrer que $OABC$ est un losange. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $FAC$ est un triangle rectangle. \item Calculer $AC$. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.) \end{enumerate} \item Calculer l'aire de la scène. (On donnera la valeur exacte et une valeur approchée arrondie au centième.) \end{myenumerate} } \par\vspace{5mm}\par\centerline{\bf Partie 2 : La pyramide}\par Avant et après le spectacle, on observe une pyramide $SABCDEF$, de sommet $S$ dont la base est un hexagone régulier $ABCDEF$. On supposera, dans cette partie, que l'aire de $ABCDEF$ est égale à 259,8~m$^2$. \par La hauteur $SO$ de cette pyramide mesure 4~m. \[\includegraphics{etrangersnice2006.5}\] \begin{myenumerate} \item Calculer le volume de cette pyramide. On donnera la réponse en m$^3$. \item Calculer $SA$. \item Calculer le volume d'une maquette à l'échelle $\dfrac1{20}$ de cette pyramide. On choisira une unité appropriée pour donner la réponse. \end{myenumerate}