exo01.tex

%@metapost:gpenord2006.mp
%@Titre: Groupe Nord -- 2006
Sur la figure ci-dessous les mesures ne sont pas respectées.
\[\includegraphics{gpenord2006.1}\]
On a $OA=3\sqrt3$~cm, $OD=\sqrt3$~cm, $CO=3$~cm, $\widehat{AOB}$ est
un angle droit et $\widehat{OAB}=60$\degres.
\begin{myenumerate}
\item Montrer que $OB=9$~cm.
\item Montrer que les droites $(CD)$ et $(AB)$ sont parallèles.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
\begin{multicols}{2}
Dans le triangle $OAB$, rectangle en $O$, on a :
\[\Eqalign{
\cos\widehat{OAB}&=\frac{OA}{AB}\cr
\cos60&=\frac{3\sqrt3}{AB}\cr
0,5&=\frac{3sqrt3}{AB}\cr
0,5AB&=3\sqrt3\cr
AB&=\frac{3\sqrt3}{0,5}\cr
AB&=6\sqrt3~\mbox{cm}\cr
}\]
Dans le triangle $AOB$, rectangle en $O$, le théorème de Pythagore
permet d'écrire :
\[\Eqalign{
AB^2&=AO^2+OB^2\cr
\left(6\sqrt3\right)^2&=\left(3\sqrt3\right)^2+OB^2\cr
36\times3&=9\times3+OB^2\cr
108&=27+OB^2\cr
108-27&=OB^2\cr
81&=OB^2\cr
9&=OB\cr
}\]
\end{multicols}
\item Dans le triangle $OAB$, $D$ est un point de la droite $(OA)$ et
  $C$ est un point de la droite $(OB)$.
\[\left.
  \begin{array}{l}
    \dfrac{OA}{OD}=\dfrac{3\sqrt3}{\sqrt3}=3\\
    \\
    \dfrac{OB}{OC}=\dfrac93=3\\
  \end{array}
\right\}\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}\]
De plus, les points $A$, $O$ et $D$ sont alignés dans le même ordre
que les points $B$, $O$ et $C$. Donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont
parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
\end{myenumerate}