%@metapost:Liban2009courbe.mp %@Titre: Liban -- 2009 \begin{center} \textbf{Les trois parties sont indépendantes} \end{center} Deux frères ont hérité d'un terrain que l'on peut assimiler à un triangle rectangle.\\ L'aire de ce terrain est égale à \nombre{2400}~m$^2$. Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit \nombre{1200}~m$^2$ par parcelle. Pour cela, on partage le terrain selon un segment $[MN]$, $M$ et $N$ étant respectivement sur les côtés $[CB]$ et $[CA]$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont parallèles. Dans tout ce problème, l'unité de longueur est le mètre. On donne : $AB=60$ et $BC=80$. \medskip \textbf{Partie A}\\ \compog{1}{Liban2009}{1}{% Dans cette partie : $CM=50$. \begin{myenumerate} \item Justifier que $MN=37,5$. \item Comparer les aires du triangle $CMN$ et du trapèze $ANMB$ après les avoir calculées. \item Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point $M$ à plus de 50 m de $C$ ou à moins de 50 m de $C$ ? \end{myenumerate} } \medskip \textbf{Partie B} \compog{2}{Liban2009}{1}{% On veut déterminer la distance $CM$ pour laquelle l'aire du triangle $CNM$ est égale à \nombre{1200}~m$^2$. On pose $CM=x$. \begin{myenumerate} \item Démontrer que $MN=\dfrac{3}{4}x$. \item Démontrer que l'aire du triangle $CNM$, exprimée en m\up{2}, a pour mesure : $\dfrac{3}{8}x^2$. \end{myenumerate} } \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Soit $f$ la fonction qui, au nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,80]$, associe l'aire du triangle $CMN$.\\ On note $f : x \longmapsto \dfrac{3}{8}x^2$. \\On a construit, ci-dessous, la courbe représentant la fonction $f$. \begin{enumerate}[a)] \item\`A l'aide de cette courbe, déterminer où il faut placer le point $M$ pour que les deux parcelles aient la même aire.\emph{On donnera une valeur approchée.} \item En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de $x$ pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. \item En déduire la valeur exacte de la longueur $MN$ du muret puis donne une valeur approchée au dm près de $MN$. \end{enumerate} \end{myenumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{myenumerate} \item Le muret est construit avec des briquettes de 20~cm de longueur et de 10~cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,20~m de longueur et de 1~m de hauteur. \item Sachant que 20~briquettes coûtent 35~\eurologo, calculer le coût du muret. \end{myenumerate} \[\includegraphics{Liban2009courbe.1}\]