exo03.tex

 
%@metapost:Etrangers2010.mp
%@Titre:Centres étrangers -- 2010
Le problème est constitué de questions enchaînées. {\em On pourra
  utiliser les résultats donnés à certaines questions pour continuer
  le problème.}
\par Dans tout l'exercice, l'unité de longueur est le
centimètre. $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$~cm; $BC=10$~cm et
$\widehat{ABC}=120$\degres. La hauteur issue de $A$ coupe la droite
$(BC)$ au point $H$. {\em La figure ci-dessous n'est pas en vraie
  grandeur.}
\[\includegraphics{Etrangers2010-6.pdf}\]
\begin{Enumerate}
  \item Tracer la figure en vraie grandeur.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABH}$. En déduire
      que $BH=3$.
    \item Prouver que $AH=3\sqrt3$, puis calculer l'aire du triangle
      $ACH$ (on donnera la valeur exacte).
    \item Prouver que $AC=14$.
    \end{enumerate}
  \item $M$ est un point du segment $[BC]$ tel que $CM=6,5$. La
    parallèle à $(AH)$ passant par $M$ coupe le segment $[AC]$ en $N$.
    \begin{enumerate}
    \item Compléter la figure puis prouver que $NM=\dfrac{3\sqrt3}2$.
    \item {\em Pour cette question, toute trace de recherche, même
        incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}\par
      Déterminer l'aire du trapèze $AHMN$. Donner une valeur approchée
      à l'unité près de cette aire.
    \end{enumerate}
\end{Enumerate}