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%@metapost:Metropolesep2009.mp
%@Titre:Métropole -- Septembre 2009
\textbf{Partie I : Format d'un rectangle}\par
Des rectangles sont tracés ci-dessous. {\em Ils ne sont pas en
  vraie grandeur}. Pour chacun, la longueur et la largeur sont
indiquées. L'unité est le mm.
\par
\includegraphics{Metropolesep2009-4.pdf}\hfill
\includegraphics{Metropolesep2009-5.pdf}\hfill
\includegraphics{Metropolesep2009-6.pdf}\par
\includegraphics{Metropolesep2009-7.pdf}\hfill
\includegraphics{Metropolesep2009-8.pdf}
\begin{Enumerate}
\item Compléter le tableau ci-dessous. (Dans la dernière ligne du
  tableau, toutes les fractions devront être irréductibles).
\par
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|c|X|}
\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Longueur $L$&Largeur $\ell$&$\dfrac{\strut
  L}{\ell}$ (irréductible)\\
\hline
Rectangle 1&&&\\
\hline
Rectangle 2&&&\\
\hline
Rectangle 3&&&\\
\hline
Rectangle 4&&&\\
\hline
Rectangle 5&&&\\
\hline  
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\item Cette écriture irréductible de la fraction $\dfrac{L}{\ell}$
  obtenue pour chaque rectangle est appelée {\em format du rectangle}.
  \\Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même format que le
  rectangle 1 ? Quels sont les rectangles du tableau qui ont le même
  format que le rectangle 2 ?
\item Un rectangle est au format $\dfrac{16}{9}$.
  \begin{enumerate}
	\item Sachant que la largeur de ce rectangle est 54~mm,
          calculer sa longueur. Dessiner ce rectangle.
	\item Si on ne connaît ni la longueur $L$ ni la largeur
          $\ell$, exprimer $L$ en fonction de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{Enumerate}
\textbf{Partie II : Étude graphique}
 \par\`A chaque rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$, on
 associe sur le graphique ci-dessous, le point de coordonnées
 $(\ell~;~L)$.
 \\Les points $P_{1}$ et $P_{2}$  correspondant aux deux premiers
 rectangles sont déjà placés.
\[\includegraphics{Metropolesep2009-9.pdf}\]
 \begin{Enumerate}
\item Placer les trois autres points.
\item Quelle conjecture peut-on faire sur la position des points
  correspondant aux rectangles dont le format est $\dfrac{16}{9}$ ?
\item On considère un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$
  dont le format est $\dfrac{16}{9}$. On appelle $M$ le point du
  graphique correspondant à ce rectangle. Expliquer pourquoi $M$
  appartient à la droite ($OP_{1}$).
\end{Enumerate}
\textbf{Partie III : Étude graphique : diagonale des rectangles}
\par
Les écrans de télévision sont des rectangles qui sont en général au
format $\dfrac{16}{9}$ ou $\dfrac{4}{3}$. Les fabricants indiquent
souvent, comme caractéristique de la taille de l'écran, la longueur de
sa diagonale.
\begin{Enumerate}
\item Calculer la longueur de la diagonale du rectangle 1.
\item Pour les écrans de télévision au format $\dfrac{16}{9}$, les
  fabricants considèrent que la longueur de la diagonale vaut
  approximativement le double de la largeur. Justifier cette
  approximation.
\end{Enumerate}