%@metapost:406ec2.mp %@Titre:Variations sur un rectangle. {\em Dans tout le problème, on considère le même rectangle $ABCD$ tel que $AB=12$~cm et $AD=5$~cm}. \\{\em Les figures données ne sont pas en vraie grandeur}. \paragraph{Partie 1}\hfill\newline \compo{2}{406ec2}{1}{ \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item {\em Sur la figure ci-contre}, trace la droite $(d_1)$, perpendiculaire à la droite $(AC)$ et passant par $D$ : elle coupe le segment $[AB]$ en $E$. \item {\em Sur la figure ci-contre}, trace la droite $(d_2)$, perpendiculaire à la droite $(AC)$ et passant par $B$ : elle coupe le segment $[CD]$ en $F$. \end{enumerate} \item Démontre que les droites $(DE)$ et $(BF)$ sont parallèles. \item Quelle est la nature du quadrilatère $DEBF$ ? Justifie. \item Déduis, de la question précédente, que les segments $[EF]$ et $[AC]$ ont le même milieu. \end{myenumerate} } \paragraph{Partie 2}\hfill\newline \compo{3}{406ec2}{1}{Le point $M$ appartient au segment $[CD]$. \begin{myenumerate} \item Calcule les longueurs $AM$ et $MB$. \item Le triangle $AMB$ est-il rectangle ? Explique pourquoi. \end{myenumerate} } \paragraph{Partie 3}\hfill\newline \compo{4}{406ec2}{1}{ Par une construction géométrique {\em que l'on justifiera}, comment placer {\em précisément} le point $M$ sur le segment $[DC]$ pour que le triangle $ABM$ soit rectangle en $M$ ? \\{\em On effectuera la construction géométrique sur la figure ci-contre}. } \paragraph{Partie 4}\hfill\newline \compo{5}{406ec2}{1}{Le point $M$ appartient au segment $[CD]$ et on note $DM=x$ (en cm). \begin{myenumerate} \item Exprime, en fonction de $x$, l'aire du triangle $ADM$. \item \begin{enumerate} \item Exprime, en fonction de $x$, la longueur $CM$. \item Montre que l'aire du triangle $BMC$ est, en cm$^2$, égale à $30-2,5x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Détermine l'expression réduite de la somme des aires des triangles $ADM$ et $BCM$. Réduis l'expression obtenue. \item {\em Sans aucun calcul}, justifie la valeur de cette somme lorsque $x=\pi$. \end{enumerate} \end{myenumerate} }