exo35.tex

%@P:exocorcp
Soit $ABC$ un triangle tel que $BC=10$~cm; $BA=9$~cm et
$AC=7$~cm. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$.
\begin{myenumerate}
\item Construis une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Construis le cercle circonscrit au triangle $ABC$. On appellera
$({\cal C})$ et $O$ le centre du cercle $({\cal C})$.
\item
\begin{enumerate}
\item Place le point $D$ sur le cercle $({\cal C})$ tel que le segment
$[AD]$ soit un diamètre du cercle $({\cal C})$.
\item Démontre que les triangles $ADB$ et $ADC$ sont rectangles.
\end{enumerate}
\item Dans le triangle $ABC$, la hauteur issue de $C$ coupe la droite
$(AB)$ en $K$ et la hauteur issue de $B$ coupe la droite $(AC)$ en
$J$. Ces deux hauteurs se coupent en un point $H$.\\La droite $(AH)$
coupe la droite $(BC)$ en $L$ et recoupe le cercle $({\cal C})$ en
$E$.
\par Complète la figure.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que les droites $(BH)$ et $(DC)$ sont parallèles.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $BHCD$ ? Justifie la
réponse.
\item Déduis-en que $I$ est le milieu du segment $[DH]$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que les droites $(OI)$ et $(AH)$ sont parallèles.
\item Démontre que les droites $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\item Que représente la droite $(AH)$ pour le triangle $ABC$?
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
\item
\begin{enumerate}
\item Voici la figure :
\[\includegraphics{305dme06c.1}\]
\item Comme $B$ appartient au cercle de diamètre $[AD]$ alors le triangle $ABD$ est rectangle en $B$.\\Comme $C$ appartient au cercle de diamètre $[AD]$ alors le triangle $ACD$ est rectangle en $C$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Comme les droites $(BH)$ et $(DC)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AC)$ alors les droites $(BH)$ et $(DC)$ sont parallèles.
\item Comme les droites $(BD)$ et $(CH)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(AB)$ alors les droites $(BD)$ et $(CH)$ sont parallèles.
\par Comme le quadrilatère $BHCD$ a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors $BHCD$ est un parallélogramme.
\item Comme $BHCD$ est un parallélogramme alors les diagonales $[BC]$ et $[DH]$ ont le même milieu.
\\Comme $I$ est le milieu du segment $[BC]$ alors $I$ est aussi le milieu du segment $[DH]$.
\end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Comme $[AD]$ est un diamètre du cercle de centre $O$ alors $O$ est le milieu du segment $[AD]$.
\par Dans le triangle $ADH$, $O$ est le milieu du segment $[AD]$ et $I$ est le milieu du segment $[DH]$. Donc les droites $(OI)$ et $(AH)$ sont parallèles d'après le théorème des milieux.
\item Comme $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ alors $O$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$. Comme $I$ est le milieu du segment $[BC]$ alors $I$ appartient à la médiatrice du segment $[BC]$. Donc la droite $(OI)$ est la médiatrice du segment $[BC]$ et les droites $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\item Comme les droites $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires et que les droites $(OI)$ et $(AH)$ sont parallèles alors les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.\par Comme les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires alors la droite $(AH)$ est une hauteur du triangle $ABC$.
  \end{enumerate}
\item Comme $E$ appartient au cercle de diamètre $[AD]$ alors le triangle $AED$ est rectangle en $E$ et les droites $(DE)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires.
\par Comme les droites $(DE)$ et $(IL)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(AE)$ alors les droites $(DE)$ et $(IL)$ sont parallèles.
\par Dans le triangle $DHE$, la parallèle à la droite $(DE)$ passant par $I$, milieu du segment $[DH]$, coupe la droite $(AH)$ en $L$. Donc $L$ est le milieu du segment $[EH]$.
\par Comme la droite $(BC)$ est perpendiculaire à la droite $(EH)$ et qu'elle passe par le milieu du segment $[EH]$ alors la droite $(BC)$ est la médiatrice du segment $[AE]$.
\par Comme la droite $(BC)$ est la médiatrice du segment $[EH]$ alors $E$ est le symétrique de $H$ par rapport à la droite $(BC)$.
\end{myenumerate}