%@P:exocorcp %@metapost:402ds08.mp \par\compo{1}{402ds08}{1}{On considère une pyramide régulière $SABCD$ à base carrée. On note $[SH]$ sa hauteur et on donne $AH=12$~cm et $AS=20$~cm. \begin{myenumerate} \item Calcule la longueur $SH$. \item Calcule l'angle $\widehat{SAH}$. \item Montre que la longueur $AB$ est égale à $\sqrt{288}$~cm. \item Calcule le volume de la pyramide $SABCD$. \item Construis le patron de la pyramide $SABCD$ à l'échelle $\dfrac14$. \item Soit $O$ le point du segment $[SH]$ tel que $SO=6$~cm. On crée ainsi une deuxième pyramide régulière à base carrée. \par Calcule le volume de la partie comprise entre les deux pyramides $SABCD$ et $OABCD$. \end{myenumerate} } %@Correction: \begin{myenumerate} \item \pythadroit SHA{20}{12} \item Dans le triangle $SAH$ rectangle en $H$, on a : \[\Eqalign{ \cos\widehat{SAH}&=\frac{AH}{AS}\cr \cos\widehat{SAH}&=\frac{12}{20}\cr \widehat{SAH}&\approx53\degres\cr }\] \item Comme $ABCD$ est un carré alors $AC=2\times AH=24$~cm. \par Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ AC^2&=AB^2+BC^2\cr 24^2&=AB^2+AB^2\cr 576&=2AB^2\cr 288&=AB^2\cr \sqrt{288}&=AB\cr }\] La longueur $AB$ mesure bien $\sqrt{288}$~cm. \item On a \[\Eqalign{ \mathscr{V}&=\frac13\times AB^2\times SH\cr \mathscr{V}&=\frac13\times288\times16\cr \mathscr{V}&=1\,536~\mbox{cm}^3\cr }\] \addtocounter{enumi}{1} \item On a donc \[\Eqalign{ \mathscr{V}_{OABCD}&=\frac13\times AB^2\times OH\cr \mathscr{V}_{OABCD}&=\frac13\times288\times6\cr \mathscr{V}_{OABCD}&=576~\mbox{cm}^3\cr }\] Donc le volume compris entre les deux pyramides est $1\,536-576=960$~cm$^3$. \end{myenumerate}