exo16.tex

%@P:exocorcp
\begin{myenumerate}
\item Construis un triangle $ACD$, rectangle en $C$ tel que
$CD=7,5$~cm et $AD=12,5$~cm.
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ADC}$.
\item Soit $\mathscr C$ le cercle de diamètre $[AD]$. Pourquoi le point
$C$ appartient-il au cercle $\mathscr C$ ?
\item Soit $M$ le point du segment $[CD]$ tel que $CM=2,5$~cm.\par La
perpendiculaire à la droite $(CD)$ passant par $M$ coupe le segment
$[AD]$ en $N$.
\begin{enumerate}
\item Montre que les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.
\item Calcule les longueurs $DN$ et $MN$.
\item Calcule l'aire du triangle $DMN$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AM$ arrondie au dixième près.
\item Construis le cercle circonscrit au triangle $ACM$.\par On
précisera la position de son centre $I$ et son rayon.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\[\includegraphics{geopb402exo012.1}\]
  \item Appliquer le théorème de Pythagore au triangle $ACD$ rectangle en $C$ : $AC=10$~cm.
  \item En utilisant le cosinus de l'angle $\widehat{ADC}$, on obtient $\widehat{ADC}\approx53\degres$
  \item Comme le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ alors $C$ appartient au cercle de diamètre $[AD]$.
\item
  \begin{enumerate}
    \item Les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(CD)$ donc les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.
    \item Avec \og{}L'égalité des 3 rapports\fg,on obtient $DN=\dfrac{25}3$~cm et $MN=\dfrac{20}3$~cm.
    \item On a
\[\Eqalign{
\mathscr{A}_{DMN}&=\frac{DM\times MN}2\cr
\mathscr{A}_{DMN}&=\frac{\dfrac{25}3\times\dfrac{20}3}2\cr
\mathscr{A}_{DMN}&=\frac{\dfrac{500}9}2\cr
\mathscr{A}_{DMN}&=\frac{500}{18},\mbox{cm}^2\cr
}
\]
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Avec le théorème de Pythagore appliqué au triangle $ACM$, rectangle en M, on obtient $AM=\sqrt{62,5}$ puis $AM\approx7,9$~cm.
  \item Comme le triangle $ACM$ est rectangle en $C$ alors le cercle circonscrit a pour centre $I$, milieu du segment $[AM]$, et pour rayon $\dfrac{AM}2$.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}