%@metapost:402dse06.mp {\em Dans cet exercice, l'unité utilisée est le centimètre. On complétera la figure de la page ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur.} \par Soit $ABCD$ un rectangle de centre $O$ tel que $AB=8$ et $BC=6$. \partie{150}{\bf Partie A} \begin{myenumerate} \item Calcule la longueur $BD$. \item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ABD}$. On donnera la réponse arrondie au degré. \end{myenumerate} \partie{150}{\bf Partie B} Soit $E$ un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $B$. La parallèle à la droite $(BD)$ passant par $E$ coupe la droite $(AD)$ en $F$. \\On appelle $G$ le point symétrique de $E$ par rapport à $O$, et $H$ le point symétrique de $F$ par rapport à $O$. \begin{myenumerate} \item Place les points $F$, $G$ et $K$. \item Démontre que le quadrilatère $EBGD$ est un parallélogramme. \item Soit $K$ le point d'intersection de la droite $(EF)$ et de la droite $(CD)$.\\ Démontre que le quadrilatère $BEKD$ est un parallélogramme. \item Démontre que $D$ est le milieu du segment $[GK]$. \item Soit $J$ le point d'intersection des droites $(ED)$ et $(KO)$. La droite $(GJ)$ coupe le segment $[EK]$ en $L$. Que représente le point $L$ pour le segment $[EK]$ ? \item \begin{enumerate} \item Que représente la droite $(AD)$ pour le segment $[GK]$ ? \item Déduis-en que $FG=FK$. \item Démontre que $BD=EF+FG$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontre que $EFGH$ est un parallélogramme. \item Démontre que son périmètre est égal à $2\times BD$. \end{enumerate} \end{myenumerate} \[\includegraphics{402dse06.2}\]