\begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item On donne un segment $[BC]$ tel que $BC=15$~cm.\\Sur le cercle de diamètre $[BC]$, placer un point $A$ tel que $AB=9$~cm. \item Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. \item Calcule la longueur $AC$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer le milieu $M$ du segment $[BC]$. Tracer le cercle de diamètre $[AB]$. Ce cercle recoupe le segment $[BC]$ en $D$ et le segment $[AM]$ en $E$. \item Démontrer que les triangles $ABE$ et $ABD$ sont rectangles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construis le point $F$, symétrique du point $E$ par rapport au point $M$. \item Démontrer que le quadrilatère $BECF$ est un parallélogramme. \item En déduire que les droites $(BE)$ et $(CF)$ sont parallèles, et que les droites $(AF)$ et $(CF)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(BE)$.\\ Soit $K$ le point d'intersection des droites $(AD)$ et $(CF)$. \begin{enumerate} \item Que représentent les droites $(AD)$ et $(BE)$ pour le triangle $ABM$ ? En déduire que les droites $(HM)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. \\Démontrer de même que les droites $(KM)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. \item On appelle $I$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(MH)$. On appelle $J$ le point d'intersection des droites $(AC)$ et $(KM)$. \\Démontrer que le quadrilatère $AIMJ$ est un rectangle. \\En déduire que le triangle $HMK$ est rectangle. \end{enumerate} \end{myenumerate} %$$\includegraphics{402ec2.1}$$