%@P:exocorcp Soit $B$ et $C$ deux points du cercle $({\mathscr C})$ de centre $O$ et de diamètre $[AE]$. \begin{myenumerate} \item Fais une figure que tu compléteras au fur et à mesure. \item Démontre que les triangles $ACE$ et $ABE$ sont des triangles rectangles. \item La parallèle à la droite $(EC)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $K$. \par La parallèle à la droite $(EB)$ passant par $C$ coupe la droite $(AB)$ en $J$. \par Les droites $(BK)$ et $(CJ)$ se coupent en $H$. Démontre que le quadrilatère $BHCE$ est un parallélogramme. \item Soit $A'$ le milieu du segment $[BC]$. Démontre que $A'$ est le milieu du segment $[HE]$. \item Démontre que $AH=2\times OA'$. \end{myenumerate} %@Commentaire: Reprise de l'exercice \verb+exo4+, adaptée à un DS donné en début d'année avant les droites remarquables. %@Correction: \begin{myenumerate} \item Comme $C$ appartient au cercle de diamètre $[AE]$ alors le triangle $ACE$ est rectangle en $C$.\par Comme $B$ appartient au cercle de diamètre $[AE]$ alors le triangle $ABE$ est rectangle en $B$. \item Comme le quadrilatère $BHCE$ a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors $BHCE$ est un parallélogramme. \item Comme $BHCE$ est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu.\par Or, $A'$ est le milieu du segment $[BC]$.\par Donc $A'$ est le milieu du segment $[HE]$. \item Dans le triangle $AEH$, $O$ est le milieu du segment $[AE]$ et $A'$ est le milieu du segment $[EH]$. Donc $OA'=\dfrac12AH$ ou $AH=2\times OA'$. \end{myenumerate}