exo43.tex

%@P:exocorcp
%@metapost:403dsa05.mp
\par\compo{1}{403dsa05}{1}{Sur la figure ci-contre, on donne $AB=6$~cm et
$BH=3$~cm. Le segment $[AH]$ est la hauteur relative à l'hypoténuse
$[BC]$.}
\par
\begin{myenumerate}
\item Calcule la longueur $AH$.
\item Sachant que $HC$ est le triple de $BH$, calcule la longueur $BC$.
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Calcule l'aire du triangle $ABC$.
\item Reproduis la figure en vraie grandeur. On appellera $O$ le
milieu du segment $[BC]$ et $A'$ le symétrique de $A$ par rapport au
point $O$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABA'C$ ? Justifie la réponse.
\end{myenumerate}
\begin{Solution}
  \begin{myenumerate}
    \item $AH=\sqrt{27}$~cm.
    \item $BC=12$~cm.
    \item $AC=\sqrt{108}$~cm.
    \item $\mathscr{A}_{ABC}=6\times\sqrt{27}$~cm$^2$.
      \setcounter{enumi}{5}
    \item $ABA'C$ est un rectangle.
  \end{myenumerate}
\end{Solution}
%@Correction:
\setboolean{racine}{true}
\begin{myenumerate}
  \item\pythadroit AHB63
  \item Comme $HC=3\times BH$ alors $HC=9$~cm.\\Comme $H$ appartient au
    segment $[BC]$ alors $BC=BH+HC=12$~cm.
  \item\pythadroit CAB{12}{6}
  \item $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{BC\times
      AH}2=\dfrac{12\times\sqrt{27}}2=6\sqrt{27}$~cm$^2$.
\setcounter{enumi}{5}
\item Comme $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$ alors $O$
  est le milieu du segment $[AA']$.\\ Or, $O$ est aussi le milieu du
  segment $[BC]$.\par Donc le quadrilatère $ABA'C$ a ses diagonales
  qui ont le même milieu : c'est alors un parallélogramme.
\par De plus, l'angle $\widehat{BAC}$ est un angle droit. Donc le
parallélogramme $ABA'C$ est en fait un rectangle.
\end{myenumerate}