exo8.tex

%@P:exocorcp
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $RST$, rectangle en S, tel que
$RS=12$~cm et $ST=9$~cm.
\item Calcule son aire.
\item Calcule l'angle $\widehat{STR}$.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point du segment $[ST]$ tel que $SI=3$~cm. La
perpendiculaire à la droite $(ST)$ passant par $I$ coupe la droite
$(RT)$ en $J$. Calcule les longueurs $TI$, $TJ$ et $IJ$.
\item Soit $O$ le milieu du segment $[RT]$ et $P$ le symétrique du
  point $S$ par rapport au point $O$. Quelle est la nature du
  quadrilatère $STPR$ ? Justifie la réponse.
\item Le cercle $(\cal C)$ de diamètre $[ST]$ recoupe la droite $(RT)$
en $K$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $SKT$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la longueur $TK$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item
    \item ${\cal A}_{RST}=\dfrac{RS\times ST}2=\dfrac{12\times9}2=54$~cm$^2$.
    \item Dans le triangle $RST$, rectangle en $S$, on a $\cos\widehat{STR}=\dfrac{ST}{TR}$. D'où l'utilisation du théorème de Pythagore pour obtenir $RT=15$~cm et ensuite $\widehat{RTS}\approx53\degres$.
    \end{enumerate}
  \item Les droites $(IJ)$ et $(RS)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(ST)$ donc les droites $(IJ)$ et $(RS)$ sont parallèles. On utilise ensuite \og{}l'égalité des 3 rapports\fg{} pour obtenir $IJ=8$~cm et $TJ=10$~cm.
  \item Comme $P$ est le symétrique de $S$ par rapport à $O$ alors $O$ est le milieu du segment $[SP]$. Or, $O$ est aussi le milieu du segment $[TR]$. Donc le quadrilatère $SRPT$ a ses diagonales qui ont le même milieu : c'est alors un parallélogramme.
\par De plus, ce parallélogramme possède un angle droit ($\widehat{RST}$) : $SRPT$ est un rectangle.
\item
  \begin{enumerate}
  \item $K$ appartient au cercle de diamètre $[ST]$. Donc le triangle $STK$ est rectangle en $K$.
  \item Dans le triangle $STK$, on a $\cos\widehat{STR}=\dfrac{TK}{ST}$ et d'après la question 1.c., on a $\cos\widehat{STR}=\dfrac{ST}{TR}$. Donc
\[\Eqalign{
\frac{TK}{ST}&=\frac{ST}{TR}\cr
\cr
\frac{TK}9&=\frac9{15}\cr
TK&=\frac{81}{15}\cr
TK&=5,4~\mbox{cm}\cr
}\]
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}