exo2.tex

%@P:exocorcp
{\em L'unité de longueur est le centimètre et
l'unité d'aire est le centimètre carré}.
\par Un rectangle $ABCD$ est tel que $AB=5$ et $AD=4$. $E$ est le
point du segment $[AB]$ tel que $AE=1$. $M$ est un point du segment
$[BC]$ et on pose $BM=x$.
\begin{myenumerate}
\item Calcule l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $AED$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprime en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ du triangle
$EBM$; puis la longueur $MC$; puis l'aire ${\cal A}_3$ du triangle
$DMC$.
\item Montre que la somme des trois aires ${\cal A}_1$, ${\cal A}_2$,
${\cal A}_3$ est $12-0,5x$.
\par Déduis-en que l'aire $\mathscr{A}$ du triangle $DEM$ est $8+0,5x$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item $\mathscr{A}_1=\dfrac{AD\times AE}2=\dfrac{4\times1}2=2$~cm$^2$.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $\mathscr{A}_2=\dfrac{EB\times BM}2=\dfrac{4\times
      x}2=2x$~cm$^2$.
    \par Comme $M$ appartient au segment $[BC]$ alors
    $BM=BC-x=4-x$~cm.
    \par$\mathscr{A}_3=\dfrac{DC\times CM}2=\dfrac{5\times(4-x)}2=2,5\times(4-x)$~cm$^2$.
  \item \[\Eqalign{
      \mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3&=2+2x+2,5\times(4-x)\cr
      \mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3&=2+2x+10-2,5x\cr
      \mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3&=12-0,5x\cr
      }\]
      \par\[\Eqalign{
        \mathscr{A}&=AB\times
        CD-(\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3)\cr
        \mathscr{A}&=20-(12-0,5x)\cr
        \mathscr{A}&=20-12+0,5x\cr
        \mathscr{A}&=8+0,5x\cr
        }\]
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}