$ABC$ est un triangle tel que $AB=6$~cm, $AC=9$~cm et $BC=12$~cm. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par un point $M$ du segment $[AB]$ coupe la droite $(AC)$ en $N$. La longueur $AM$, en cm, est désignée par $x$. \begin{myenumerate} \item On suppose que $x=1,5$~cm. \begin{enumerate} \item Calcule les longueurs $MN$ et $AN$. \item Calcule le périmètre $p_1$ du triangle $AMN$ et le périmètre $p_2$ du trapèze $BMNC$. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que la valeur de $x$ est quelconque. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs possibles pour $x$ ? \item Exprime les longueurs $MN$ et $AN$ en fonction de $x$. \item Exprime, en fonction de $x$, le périmètre $p_1$ du triangle $AMN$ et $p_2$ le périmètre du trapèze $BMNC$. \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $p_1=p_2$ ? \end{enumerate} \end{myenumerate}