%@metapost:402dme09.mp %@P:exocorcp \par\compo{1}{402dme09}{0.75}{Sur la figure ci-contre, $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $AB=4,8$~cm et $AC=8$~cm. \begin{myenumerate} \item Calcule la longueur $BC$. \item\label{4pythaexo2q2} Montre que la somme des aires hachurées est égale à l'aire grisée. \item En posant $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$, démontre que le résultat obtenu à la question \ref{4pythaexo2q2} est vrai dans le cas général. \end{myenumerate} } %@Correction: \begin{myenumerate} \item\pythadroit CBA8{4,8} \item On a \[\Eqalign{ {\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac{4,8}2\right)^2+\pi\times\left(\frac{6,4}2\right)^2&{\mathscr A}_g&=\pi\times\left(\frac82\right)^2\cr {\mathscr A}_h&=\pi\times5,76+\pi\times10,24&{\mathscr A}_g&=\pi\times16\cr {\mathscr A}_h&=\pi\times16\cr }\] Donc la somme des aires hachurées est égale à l'aire grisée. \item \[\Eqalign{ {\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac a2\right)^2+\pi\times\left(\frac c2\right)^2&{\mathscr A}_g&=\pi\times\left(\frac b2\right)^2\cr {\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac{a^2}4+\frac{c^2}4\right)&{\mathscr A}_g&=\pi\times\frac{b^2}4\cr {\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac{a^2+c^2}4\right)\cr }\] Or, comme le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ AC^2&=AB^2+BC^2\cr b^2&=a^2+c^2\cr }\] Donc $\pi\times\left(\frac{a^2+c^2}4\right)=\pi\times\frac{b^2}4$. \par L'aire grisée est bien égale à la somme des aires hachurées. \end{myenumerate}