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%@metapost:402dme09.mp
%@P:exocorcp
\par\compo{1}{402dme09}{0.75}{Sur la figure ci-contre, $ABC$ est un
triangle rectangle en $B$ tel que $AB=4,8$~cm et $AC=8$~cm.
\begin{myenumerate}
\item Calcule la longueur $BC$.
\item\label{4pythaexo2q2} Montre que la somme des aires hachurées est 
égale à l'aire grisée.
\item En posant $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$, démontre que le résultat
obtenu à la question \ref{4pythaexo2q2} est vrai dans le cas général.
\end{myenumerate}
}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\pythadroit CBA8{4,8}
  \item On a
\[\Eqalign{
{\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac{4,8}2\right)^2+\pi\times\left(\frac{6,4}2\right)^2&{\mathscr
  A}_g&=\pi\times\left(\frac82\right)^2\cr
{\mathscr A}_h&=\pi\times5,76+\pi\times10,24&{\mathscr
  A}_g&=\pi\times16\cr
{\mathscr A}_h&=\pi\times16\cr
}\]
Donc la somme des aires hachurées est égale à l'aire grisée.
\item \[\Eqalign{
{\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac a2\right)^2+\pi\times\left(\frac c2\right)^2&{\mathscr
  A}_g&=\pi\times\left(\frac b2\right)^2\cr
{\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac{a^2}4+\frac{c^2}4\right)&{\mathscr
  A}_g&=\pi\times\frac{b^2}4\cr
{\mathscr A}_h&=\pi\times\left(\frac{a^2+c^2}4\right)\cr
}\]
Or, comme le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire :
\[\Eqalign{
AC^2&=AB^2+BC^2\cr
b^2&=a^2+c^2\cr
}\]
Donc $\pi\times\left(\frac{a^2+c^2}4\right)=\pi\times\frac{b^2}4$.
\par L'aire grisée est bien égale à la somme des aires hachurées.
\end{myenumerate}