%@Auteur:Philippe De Sousa\par {\itshape Le but de cet exercice est de déterminer la hauteur $h$ d'un triangle équilatéral en fonction de son côté~$a$.}\vskip10pt \begin{multicols}{2} \textbf{RAPPELS} \begin{itemize} \item[$\star$] Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur ; \item[$\star$] Dans un triangle équilatéral, la hauteur et la médiane issue d'un sommet sont confondues. \end{itemize}\vskip10pt \textbf{REMARQUE}% Pour la suite de l'exercice, on utilisera la figure ci-contre. \par\columnbreak \begin{center} \begin{pspicture}(0,0)(4,4) \psset{PointSymbol=none,RotAngle=60,SegmentSymbol=pstslashh,RightAngleSize=.2} \pstGeonode[PosAngle={-135,-45}](0,0){A}(4,0){B}% \pstRotation[PosAngle=90]{A}{B}{C}% \pstSegmentMark{A}{B}\pstSegmentMark{C}{B}\pstSegmentMark{A}{C}% \psline{<->}(2.2,3.5)(4.2,0.1)% \rput(3.5,1.85){\makebox(0,0){\rotatebox{-60}{\small$a$}}} \rput(2.25,1.5){\makebox(0,0){\small$h$}} \pstProjection[PosAngle=-90]{A}{B}{C}{H}% \pstLineAB[linestyle=dashed]{C}{H}% \pstRightAngle{C}{H}{A} \end{pspicture} \end{center}% \end{multicols} \begin{enumerate}[\bfseries 1)] \item \textbf{Exemple numérique} On considère un triangle équilatéral de côté 4~cm. \begin{enumerate}[\bfseries a)] \item Expliquer pourquoi $H$ est le milieu du segment $[AB]$ et justifier que $AH = 2$~cm. \item En utilisant le triangle $AHC$, calculer la longueur $CH$ (on donnera l'arrondi au dixième). \textbf{On détaillera précisément la démarche à l'aide d'une rédaction correcte.} {\itshape\footnotesize Réponse.\quad $CH \simeq 3,5\ cm$.} \end{enumerate}\vskip10pt \item \textbf{\'Ecriture littérale} On considère à présent un triangle équilatéral dont les côtés mesurent $a$~cm. \begin{enumerate}[\bfseries a)] \item Justifier précisément que $AH = \dfrac a 2$~cm. \item Donner la valeur de $AC^2$ en fonction de $a$. \item On admet que $AH^2 = \dfrac{a^2}4.$ En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $AHC$, montrer que \[a^2 =\frac{a^2}4+CH^2.\] \item En utilisant le fait que $a^2 = \dfrac{4\times a^2}{4}$, montrer, en détaillant les étapes, que $CH^2 = \dfrac{3\times a^2}4$. \item En déduire alors la valeur exacte de $CH$. \end{enumerate} \item \textbf{Quelques calculs} En utilisant la valeur de $CH$ de la question précédente, calculer la hauteur $h$ lorsque \[a = 4~\mbox{cm} \quad ; \quad a = 8~\mbox{cm} \quad ; \quad a = 3,5~\mbox{cm}.\] On donnera la valeur exacte suivie de la valeur arrondie au dixième. \end{enumerate}