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%@Auteur:Philippe De Sousa\par
{\itshape Le but de cet exercice est de déterminer la
hauteur $h$ d'un triangle équilatéral en fonction de son
côté~$a$.}\vskip10pt
 
\begin{multicols}{2}
\textbf{RAPPELS}
 
\begin{itemize}
\item[$\star$] Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de
même longueur ;
 
\item[$\star$] Dans un triangle équilatéral, la hauteur et la médiane issue
d'un sommet sont confondues.
\end{itemize}\vskip10pt
 
\textbf{REMARQUE}%
 
Pour la suite de l'exercice, on utilisera la figure ci-contre.
\par\columnbreak
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)
\psset{PointSymbol=none,RotAngle=60,SegmentSymbol=pstslashh,RightAngleSize=.2}
\pstGeonode[PosAngle={-135,-45}](0,0){A}(4,0){B}%
\pstRotation[PosAngle=90]{A}{B}{C}%
\pstSegmentMark{A}{B}\pstSegmentMark{C}{B}\pstSegmentMark{A}{C}%
\psline{<->}(2.2,3.5)(4.2,0.1)%
\rput(3.5,1.85){\makebox(0,0){\rotatebox{-60}{\small$a$}}}
\rput(2.25,1.5){\makebox(0,0){\small$h$}}
\pstProjection[PosAngle=-90]{A}{B}{C}{H}%
\pstLineAB[linestyle=dashed]{C}{H}%
\pstRightAngle{C}{H}{A}
\end{pspicture}
\end{center}%
\end{multicols}
 
\begin{enumerate}[\bfseries 1)]
\item \textbf{Exemple numérique}
 
On considère un triangle équilatéral de côté 4~cm.
 
\begin{enumerate}[\bfseries a)]
\item Expliquer pourquoi $H$ est le milieu du segment $[AB]$ et
justifier que $AH = 2$~cm.
 
\item En utilisant le triangle $AHC$, calculer la longueur $CH$ (on donnera l'arrondi
au dixième). \textbf{On détaillera précisément la démarche à l'aide
d'une rédaction correcte.}
 
{\itshape\footnotesize Réponse.\quad $CH \simeq 3,5\ cm$.}
\end{enumerate}\vskip10pt
 
\item \textbf{\'Ecriture littérale}
 
On considère à présent un triangle équilatéral dont les côtés
mesurent $a$~cm.
 
\begin{enumerate}[\bfseries a)]
\item Justifier précisément que $AH = \dfrac a 2$~cm.
 
\item Donner la valeur de $AC^2$ en fonction de $a$.
 
\item On admet que $AH^2 = \dfrac{a^2}4.$ En utilisant le théorème
de Pythagore dans le triangle $AHC$, montrer que
\[a^2 =\frac{a^2}4+CH^2.\]
\item En utilisant le fait que $a^2 = \dfrac{4\times a^2}{4}$, montrer, en
détaillant les étapes, que $CH^2 = \dfrac{3\times a^2}4$.
\item En déduire alors la valeur exacte de $CH$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Quelques calculs}
En utilisant la valeur de $CH$ de la question précédente, calculer
la hauteur $h$ lorsque \[a = 4~\mbox{cm} \quad ; \quad a = 8~\mbox{cm} \quad ; \quad a = 3,5~\mbox{cm}.\]
 
On donnera la valeur exacte suivie de la valeur arrondie au dixième.
 
\end{enumerate}