%@P:exocorcp Dans un triangle $ABC$, on appelle $E$ et $F$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$.\\Les segments $[CE]$ et $[BF]$ se coupent en $G$.\\La parallèle à la droite $(AG)$ passant par $E$ coupe la demi-droite $[BG)$ en $I$. \\La parallèle à la droite $(AG)$ passant par $F$ coupe la demi-droite $[CG)$ en $J$. \begin{myenumerate} \item Fais une figure. \item Démontre que les droites $(EI)$ et $(FJ)$ sont parallèles. \item Que peut-on dire des points $I$ et $J$ pour les segments $[BG]$ et $[CG]$ ? Justifie. \item Démontre que les droites $(EF)$ et $(IJ)$ sont parallèles. \item Déduis-en la nature du quadrilatère $EFJI$. \item Prouve les égalités $EG=GJ=JC$ et $BI=IG=GF$. \\Déduis-en la valeur des quotients $\dfrac{CG}{CE}$ et $\dfrac{BG}{BF}$. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Comme les droites $(EI)$ et $(FJ)$ sont parallèles à la même droite $(AG)$ alors les droites $(EI)$ et $(FJ)$ sont parallèles. \item Dans le triangle $AGB$, $E$ est le milieu du segment $[AB]$ et la parallèle à la droite $(AG)$ passant par $E$ coupe le segment $[BG]$ en $I$. Donc $I$ est le milieu du segment $[BG]$.\par Dans le triangle $AGC$, $F$ est le milieu du segment $[AC]$ et la parallèle à la droite $(AG)$ passant par $F$ coupe le segment $[CG]$ en $J$. Donc $J$ est le milieu du segment $[CG]$. \item Dans le triangle $ABC$, $E$ est le milieu du segment $[AB]$ et $F$ est le milieu du segment $[AC]$. Donc les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles d'après le théorème des milieux.\par Dans le triangle $BGC$, $I$ est le milieu du segment $[BG]$ et $J$ est le milieu du segment $[CG]$. Donc les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.\par Comme les droites $(EF)$ et $(IJ)$ sont parallèles à la même droite $(BC)$ alors les droites $(EF)$ et $(IJ)$ sont parallèles. \item Comme les côtés opposés du quadrilatère $EFJI$ sont parallèles deux à deux alors $EFJI$ est un parallélogramme. \item Comme $EFJI$ est un parallélogramme alors $G$ est le milieu des diagonales $[EI]$ et $[FJ]$. Donc $EG=GJ$ et $FG=GI$. \par Or $I$ est le milieu de $[BG]$ et $J$ est le milieu de $[CG]$. Donc $BI=IG$ et $CJ=JG$. \par On obtient donc $BI=IG=GF$ et $CJ=JG=GE$. \par$\dfrac{CG}{CE}=\dfrac23$ et $\dfrac{BG}{BF}=\dfrac23$. \end{myenumerate}