exo19.tex

%@P:exocorcp
Dans un triangle $ABC$, on appelle $E$ et $F$ les milieux respectifs
des segments $[AB]$ et $[AC]$.\\Les segments $[CE]$ et $[BF]$ se
coupent en $G$.\\La parallèle à la droite $(AG)$ passant par $E$ coupe
la demi-droite $[BG)$ en $I$.
\\La parallèle à la droite $(AG)$ passant par $F$ coupe
la demi-droite $[CG)$ en $J$.
\begin{myenumerate}
\item Fais une figure.
\item Démontre que les droites $(EI)$ et $(FJ)$ sont parallèles.
\item Que peut-on dire des points $I$ et $J$ pour les segments $[BG]$
  et $[CG]$ ? Justifie.
\item Démontre que les droites $(EF)$ et $(IJ)$ sont parallèles.
\item Déduis-en la nature du quadrilatère $EFJI$.
\item Prouve les égalités $EG=GJ=JC$ et $BI=IG=GF$.
\\Déduis-en la valeur des quotients $\dfrac{CG}{CE}$ et
$\dfrac{BG}{BF}$.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Comme les droites $(EI)$ et $(FJ)$ sont parallèles à la même
    droite $(AG)$ alors les droites $(EI)$ et $(FJ)$ sont parallèles.
  \item Dans le triangle $AGB$, $E$ est le milieu du segment $[AB]$ et
    la parallèle à la droite $(AG)$ passant par $E$ coupe le segment
    $[BG]$ en $I$. Donc $I$ est le milieu du segment $[BG]$.\par Dans
    le triangle $AGC$, $F$ est le milieu du segment $[AC]$ et la
    parallèle à la droite $(AG)$ passant par $F$ coupe le segment
    $[CG]$ en $J$. Donc $J$ est le milieu du segment $[CG]$.
  \item Dans le triangle $ABC$, $E$ est le milieu du segment $[AB]$ et
    $F$ est le milieu du segment $[AC]$. Donc les droites $(EF)$ et
    $(BC)$ sont parallèles d'après le théorème des milieux.\par Dans
    le triangle $BGC$, $I$ est le milieu du segment $[BG]$ et $J$ est
    le milieu du segment $[CG]$. Donc les droites $(IJ)$ et $(BC)$
    sont parallèles.\par Comme les droites $(EF)$ et $(IJ)$ sont
    parallèles à la même droite $(BC)$ alors les droites $(EF)$ et
    $(IJ)$ sont parallèles.
  \item Comme les côtés opposés du quadrilatère $EFJI$ sont parallèles
    deux à deux alors $EFJI$ est un parallélogramme.
  \item Comme $EFJI$ est un parallélogramme alors $G$ est le milieu
    des diagonales $[EI]$ et $[FJ]$. Donc $EG=GJ$ et $FG=GI$.
    \par Or $I$ est le milieu de $[BG]$ et $J$ est le milieu de
    $[CG]$. Donc $BI=IG$ et $CJ=JG$.
    \par On obtient donc $BI=IG=GF$ et $CJ=JG=GE$.
    \par$\dfrac{CG}{CE}=\dfrac23$ et $\dfrac{BG}{BF}=\dfrac23$.
\end{myenumerate}