%@metapost:parallelogramme.mp %@P:exocorcp %@Auteur: D'après {\sl www.maths.ac-aix-marseille/debart/} %@Dif:3 \begin{quote} Dans un parallélogramme, les segments, joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale joignant les deux autres sommets en trois parties égales. \end{quote} \paragraph{Application} Le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux tiers des médianes à partir des sommets. %@Correction: \[\includegraphics{parallelogramme.1}\] \begin{myenumerate} \item Soit $ABCD$ est un parallélogramme de milieu $O$, $M$ est le milieu du segment $[AB]$ et $N$ le milieu du segment $[CD]$. \par $O$ est le milieu commun de la diagonale $[BD]$ et du segment $[MN]$. \par $MBND$ est un parallélogramme et $(MD)$ est parallèle à $(BN)$. \item\begin{itemize} \item $M$ est le milieu du segment $[AB]$ donc, dans le triangle $ABL$, le point $K$ est le milieu de $[AL]$ et $AK = KL$; \item $N$ est le milieu de $[CD]$ donc, dans le triangle $CDK$, le point $L$ est le milieu de $[KC]$ et $KL = LC$. \item $K$ et $L$ partagent $[AC]$ en trois segments de longueur égale. \end{itemize} \end{myenumerate} \paragraph{Application} \`A partir d'un triangle $ABD$, construis le point $C$, symétrique de $A$ par rapport au milieu $O$ de $[BC]$, permet d'obtenir le parallélogramme de la figure ci-dessus. $[AO]$ et $[CM]$ sont deux médianes de $ABD$ qui se coupent en $K$, centre de gravité du triangle. \par $AK=\dfrac13AC=\dfrac23AO$ car $AO=\dfrac12AC$. Le point $K$ situé au tiers de $[AD]$ est aux deux tiers de la médiane $[AO]$.