exo7.tex

%@P:exocorcp
%@metapost:403dm03.mp
\par\compo{1}{403dm03}{1}{Dans la figure ci-contre, on a :
\[\Eqalign{
\widehat{LFE}&=\widehat{LUE}=\widehat{SUR}=\widehat{SFR}\cr
\widehat{EFR}&=\widehat{EUF}=55\degres;\widehat{LFS}=115\degres;\cr
\widehat{UFR}&=20\degres;\widehat{RUF}=70\degres\cr
}\]
\begin{myenumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $LFU$ ?
\item Montre que les points $F$, $L$, $E$, $U$, $R$ et $S$ sont sur un
même cercle dont on précisera le diamètre.
\item Construis cette figure avec $FU=9$~cm.
\end{myenumerate}
}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item On a
\[\Eqalign{
\widehat{LFS}&=\widehat{LFE}+\widehat{EFR}+\widehat{RFS}\cr
115&=\widehat{LFE}+55+\widehat{LFE}\cr
115&=55+2\times\widehat{LFE}\cr
60&=2\times\widehat{LFE}\cr
30\degres&=\widehat{LFE}\cr
}\]
\par\begin{multicols}{3}
On a
\[\Eqalign{
\widehat{FUL}&=\widehat{EUF}-\widehat{EUL}\cr
\widehat{FUL}&=55-30\cr
\widehat{FUL}&=25\degres\cr
}\]
On a aussi
\[\Eqalign{
\widehat{EFU}&=\widehat{EFR}-\widehat{RFU}\cr
\widehat{EFU}&=55-20\cr
\widehat{EFU}&=35\degres\cr
}\]
Donc
\[\Eqalign{
\widehat{LFU}&=\widehat{LFE}+\widehat{EFU}\cr
\widehat{LFU}&=30+35\cr
\widehat{LFU}&=65\degres\cr
}\]
\end{multicols}
Dans le triangle $LFU$, on a
\[\Eqalign{
\widehat{LFU}+\widehat{FUL}+\widehat{ULF}&=180\cr
65+25+\widehat{ULF}&=180\cr
90+\widehat{ULF}&=180\cr
\widehat{ULF}&=90\degres\cr
}\]
Le triangle $ULF$ est donc rectangle en $L$.
\item Comme le triangle $ULF$ est rectangle en $L$ alors $L$
  appartient au cercle de diamètre $[FU]$.
\par$\bullet$ Dans le triangle $FUR$, on a
\[\Eqalign{
\widehat{RFU}+\widehat{FUR}+\widehat{URF}&=180\cr
20+70+\widehat{URF}&=180\cr
90+\widehat{URF}&=180\cr
\widehat{URF}&=90\degres\cr
}\]
Comme le triangle $UFR$ est rectangle en $R$ alors $R$ appartient au
cercle de diamètre $[FU]$.
\par$\bullet$ Dans le triangle $EFU$, on a 
\[\Eqalign{
\widehat{EFU}+\widehat{FUE}+\widehat{UEF}&=180\cr
35+55+\widehat{UEF}&=180\cr
90+\widehat{UEF}&=180\cr
\widehat{UEF}&=90\degres\cr
}\]
Comme le triangle $UFE$ est rectangle en $E$ alors $E$ appartient au
cercle de diamètre $[FU]$.
\par$\bullet$ On a
\[\Eqalign{
\widehat{SFU}&=\widehat{SFR}+\widehat{RFU}\kern0.15\linewidth&\widehat{SUF}&=\widehat{RUF}-\widehat{RUS}\cr
\widehat{SFU}&=30+20&\widehat{SUF}&=70-30\cr
\widehat{SFU}&=50\degres&\widehat{SUF}&=40\degres\cr
}\]
Dans le triangle $SFU$, on a 
\[\Eqalign{
\widehat{SFU}+\widehat{FUS}+\widehat{USF}&=180\cr
55+35+\widehat{USF}&=180\cr
90+\widehat{USF}&=180\cr
\widehat{USF}&=90\degres\cr
}\]
Comme le triangle $UFS$ est rectangle en $S$ alors $S$ appartient au
cercle de diamètre $[FU]$.
\par$\bullet$ Tous les points $F$, $L$, $E$, $U$, $R$ et $S$
appartiennent au cercle de diamètre $[FU]$.
\end{myenumerate}