$ABC$ est un triangle tel que $AC=20$~cm; $BC=16$~cm; $AB=12$~cm. $F$ est un point du segment $[BC]$. La perpendiculaire à la droite $(BC)$ passant par $F$ coupe le segment $[CA]$ en $E$. \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ et calcule son aire. \item Démontre que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$. \end{enumerate} \item On se place dans le cas où $CF=12$~cm. \par Démontre que $EF=9$~cm puis calcule l'aire du triangle $EBC$. \item On se place dans le cas où $F$ est un point quelconque du segment $[BC]$, distinct de $B$ et $C$. Dans cette question, on pose $CF=x$ ($x$ étant un nombre tel que $0<x<16$). \begin{enumerate} \item Montre que la longueur $EF$, exprimée en cm, est égale à $0,75x$. \item Montre que l'aire du triangle $EBC$, exprimée en cm$^2$, est égale à $6x$. \item Pour quelle valeur de $x$, l'aire du triangle $EBC$, exprimée en cm$^2$, est-elle égale à 30 ? \end{enumerate} \end{myenumerate}