%@P:exocorcp %@Dif:3 $n$ est un nombre entier supérieur à 6 et on pose \[F=\frac{n+9}{n-6}\] \begin{myenumerate} \item Donne la forme irréductible de $F$ pour $n=9$, $n=25$, $n=46$. \item Démontre que \[F=1+\frac{15}{n-6}\] \item Déduis-en toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles $F$ est un nombre entier. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item\[\Eqalign{ n&=9\kern0.25\linewidth&n&=25\kern0.25\linewidth&n&=46\cr \cr F&=\frac{9+9}{9-6}&F&=\frac{25+9}{25-6}&F&=\frac{46+9}{46-6}\cr F&=\frac{18}3&F&=\frac{34}{19}&F&=\frac{55}{40}\cr F&=3&&&F&=\frac{11}8\cr }\] \item \[1+\frac{15}{n-6}=\frac{n-6}{n-6}+\frac{15}{n-6}=\frac{n-6+15}{n-6}=\frac{n+9}{n-6}=F\] \item Pour que $F$ soit un nombre entier, il faut que $n-6$ soit un diviseur de 15. Donc on doit résoudre $n-6=1$; $n-6=3$, $n-6=5$ et $n-6=15$. On obtient 4 valeurs pour $n$ : $n=7$, $n=9$, $n=11$ et $n=21$. \end{myenumerate} %@Commentaire: Travail sur la décomposition d'une fraction. Permet de revoir les simplifications et d'envisager une recherche. Raisonnement propre à l'arithmétique.