%@P:exocorcp %@Dif:4 On veut déterminer les nombres entiers relatifs $x$ et $y$ ($x>y$) tels que $xy=4\,374$ et $\pgcd(x;y)=27$. \begin{myenumerate} \item Explique pourquoi $x$ et $y$ peuvent s'écrire sous la forme $x=27a$ et $y=27b$ avec $a$ et $b$ entiers ($a>b$). \item Démontre que $ab=6$. \item Détermine alors toutes les valeurs possibles de $a$ et $b$. \item Déduis-en tous les nombres $x$ et $y$ possibles. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item Comme le $pgcd(x;y)=27$ alors 27 est un diviseur de $x$ et de $y$. Donc on peut écrire $x=27a$ et $y=27b$. \item $ab=\dfrac x{27}\times\dfrac y{27}=\dfrac{xy}{729}=\dfrac{4\,374}{729}=6$. \item Comme $x$ et $y$ sont des nombres {\em relatifs} alors $a$ et $b$ peuvent aussi être {\em relatifs} : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $a$&$b$&$x$&$y$\\ \hline $-6$&$-1$&$-162$&$-27$\\ $-3$&$-2$&$-81$&$-54$\\ $-2$&$-3$&$-54$&$-81$\\ $-1$&$-6$&$-27$&$-162$\\ 1&6&27&162\\ 2&3&54&81\\ 3&2&81&54\\ 6&1&162&27\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{myenumerate} %@Commentaire: Exercice difficile ; la notion de $\pgcd$ doit être maîtrisée ; la lecture des consignes est importante pour ne pas oublier de cas (\og{}relatifs\fg{}).