exo3.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:3
\begin{myenumerate}
\item \'Ecris les fractions suivantes sous leur forme irréductible
\[a=\frac{4\,865}{2\,145}\kern1cm b=\frac{3\,588}{759}\]
\item Le quotient du produit de deux nombres $x$ et $y$ par leur $\pgcd$
s'appelle le {\em Plus Petit Commun Multiple} noté $\ppcm(x;y)$.
\begin{enumerate}
\item Exprime $\ppcm(x;y)$ en fonction de $x$, $y$ et $\pgcd(x;y)$.
\item Calcule le $\ppcm(429;15)$.
\item Déduis-en la somme de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\subitem{}\par
    \begin{multicols}{2}
      \begin{center}
\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&car\ldots\\
\hline
4\,865&2\,145&575&$4\,865=2\,145\times2+575$\\
2\,145&575&420&$2\,145=575\times3+420$\\
575&420&155&$575=420\times1+155$\\
420&155&110&$420=155\times2+110$\\
155&110&45&$155=110\times1+45$\\
110&45&20&$110=45\times2+20$\\
45&20&5&$45=20\times2+5$\\
20&5&0&$20=5\times4+0$\\
\end{tabular}
\end{center}
\par Le $\pgcd(4\,865;2\,145)$ est 5.
\par Donc
\[\frac{4\,865}{2\,145}=\frac{5\times973}{5\times429}=\frac{973}{429}\]
\par\columnbreak
\begin{center}
\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&car\ldots\\
\hline
3\,588&1\,035&483&$3\,588=1\,035\times3+483$\\
1\,035&483&69&$1\,035=483\times2+69$\\
483&69&0&$483=69\times7+0$\\
\end{tabular}
\end{center}
\par Le $\pgcd(3\,588;1\,035)$ est 69.
\par Donc \[b=\frac{3\,588}{1\,035}=\frac{69\times52}{69\times15}=\frac{52}{15}\]
    \end{multicols}
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item $\ppcm(x;y)=\dfrac{x\times y}{\pgcd(x;y)}$.
    \item\subitem{}\par \begin{center}
\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&car\ldots\\
\hline
429&15&9&$429=15\times28+9$\\
15&9&6&$15=9\times1+6$\\
9&6&3&$9=6\times1+3$\\
6&3&0&$6=3\times2+0$\\
\end{tabular}
\end{center}
\par Le $\pgcd(429;15)$ est 3.
\par Donc $\ppcm(429,15)=\dfrac{429\times15}3=2\,145$.
\item \[\Eqalign{
a+b&=\frac{4\,865}{2\,145}+\frac{3\,588}{759}\cr
a+b&=\frac{973}{429}+\frac{52}{15}\cr
a+b&=\frac{973\times5}{429\times5}+\frac{52\times143}{15\times143}\cr
a+b&=\frac{4\,865}{2\,145}+\frac{7\,436}{2\,145}\cr
a+b&=\frac{12\,301}{2\,145}\cr
}\]
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: \'Etude du complément du PGCD : le PPCM.