%@P:exocorcp %@Dif:3 \begin{myenumerate} \item \'Ecris les fractions suivantes sous leur forme irréductible \[a=\frac{4\,865}{2\,145}\kern1cm b=\frac{3\,588}{759}\] \item Le quotient du produit de deux nombres $x$ et $y$ par leur $\pgcd$ s'appelle le {\em Plus Petit Commun Multiple} noté $\ppcm(x;y)$. \begin{enumerate} \item Exprime $\ppcm(x;y)$ en fonction de $x$, $y$ et $\pgcd(x;y)$. \item Calcule le $\ppcm(429;15)$. \item Déduis-en la somme de $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item\subitem{}\par \begin{multicols}{2} \begin{center} \begin{tabular}{cccl} $a$&$b$&$r$&car\ldots\\ \hline 4\,865&2\,145&575&$4\,865=2\,145\times2+575$\\ 2\,145&575&420&$2\,145=575\times3+420$\\ 575&420&155&$575=420\times1+155$\\ 420&155&110&$420=155\times2+110$\\ 155&110&45&$155=110\times1+45$\\ 110&45&20&$110=45\times2+20$\\ 45&20&5&$45=20\times2+5$\\ 20&5&0&$20=5\times4+0$\\ \end{tabular} \end{center} \par Le $\pgcd(4\,865;2\,145)$ est 5. \par Donc \[\frac{4\,865}{2\,145}=\frac{5\times973}{5\times429}=\frac{973}{429}\] \par\columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{cccl} $a$&$b$&$r$&car\ldots\\ \hline 3\,588&1\,035&483&$3\,588=1\,035\times3+483$\\ 1\,035&483&69&$1\,035=483\times2+69$\\ 483&69&0&$483=69\times7+0$\\ \end{tabular} \end{center} \par Le $\pgcd(3\,588;1\,035)$ est 69. \par Donc \[b=\frac{3\,588}{1\,035}=\frac{69\times52}{69\times15}=\frac{52}{15}\] \end{multicols} \item \begin{enumerate} \item $\ppcm(x;y)=\dfrac{x\times y}{\pgcd(x;y)}$. \item\subitem{}\par \begin{center} \begin{tabular}{cccl} $a$&$b$&$r$&car\ldots\\ \hline 429&15&9&$429=15\times28+9$\\ 15&9&6&$15=9\times1+6$\\ 9&6&3&$9=6\times1+3$\\ 6&3&0&$6=3\times2+0$\\ \end{tabular} \end{center} \par Le $\pgcd(429;15)$ est 3. \par Donc $\ppcm(429,15)=\dfrac{429\times15}3=2\,145$. \item \[\Eqalign{ a+b&=\frac{4\,865}{2\,145}+\frac{3\,588}{759}\cr a+b&=\frac{973}{429}+\frac{52}{15}\cr a+b&=\frac{973\times5}{429\times5}+\frac{52\times143}{15\times143}\cr a+b&=\frac{4\,865}{2\,145}+\frac{7\,436}{2\,145}\cr a+b&=\frac{12\,301}{2\,145}\cr }\] \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Commentaire: \'Etude du complément du PGCD : le PPCM.