exo9.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:4
\begin{myenumerate}
\item Calcule le $\pgcd$ de 385 et 231.
\item Un parc rectangulaire de 385~m de long et de 231~m de large doit être bordé d'arbustes. Le jardinier souhaite que tous ces arbustes soient espacés régulièrement avec un arbuste à chaque coin du parc.
\begin{enumerate}
\item Sachant que la distance séparant deux arbustes doit être un nombre entier de mètres, quelles sont les différentes possibilités d'espacement des arbustes ?
\item Dans chaque cas, détermine le nombre d'arbustes nécessaires.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\subitem{}\par \begin{center}
\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&car\ldots\\
\hline
385&231&154&$385=231\times1+154$\\
231&154&77&$231=154\times1+77$\\
154&77&0&$154=77\times2+0$\\
\end{tabular}
\end{center}
\par Le $\pgcd(385;231)$ est 77.
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Il faut alors des diviseurs de 77. Donc on peut prendre un espacement de 1~m; 7~m; 11~m et 77~m.
  \item
    \begin{description}
    \item[1~m] Sur la 1\iere\ longueur, il y a 386 arbustes (avec les coins) ; sur la largeur suivante, 231 arbustes; sur la 2\ieme\ longueur, 385 arbustes et sur la 2\ieme\ largeur, 230 arbustes. Soit un total de 1\,232 arbustes.
    \item[7~m] Sur la 1\iere\ longueur, il y a 56 arbustes (avec les coins) ; sur la largeur suivante, 33 arbustes; sur la 2\ieme\ longueur, 55 arbustes et sur la 2\ieme\ largeur, 32 arbustes. Soit un total de 176 arbustes.
    \item[11~m] Sur la 1\iere\ longueur, il y a 36 arbustes (avec les coins) ; sur la largeur suivante, 21 arbustes; sur la 2\ieme\ longueur, 35 arbustes et sur la 2\ieme\ largeur, 20 arbustes. Soit un total de 112 arbustes.
    \item[77~m] Sur la 1\iere\ longueur, il y a 6 arbustes (avec les coins) ; sur la largeur suivante, 3 arbustes; sur la 2\ieme\ longueur, 5 arbustes et sur la 2\ieme\ largeur, 2 arbustes. Soit un total de 16 arbustes.
    \end{description}
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice assez difficile à cause de la dernière question. Il ne faut pas compter plusieurs fois les arbustes qui sont aux coins du parc.