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exo15.tex

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%@metapost: 303dm14.mp
\par\compo{1}{303dm14}{1}{Sur la figure ci-contre (qui n'est pas en vraie
grandeur), $ABCD$ est un carré dont le côté a pour mesure (en
centimètres) $x$, $ECF$ est un triangle rectangle en $C$, le point $E$
étant un point du segment $[BC]$.\\On donne $FC=4$~cm.
}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprime l'aire, notée $\cal{A}$, du carré $ABCD$ en fonction de $x$.
\item Calcule $\cal{A}$ pour $x=2+\sqrt2$. On donnera le résultat
sous la forme $a+b\sqrt2$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\end{enumerate}
\item On suppose que $x$ est supérieur à 1.
\begin{enumerate}
\item Sachant que la longueur $BE$ est égale à 0,5~cm, calcule, en
fonction de $x$, l'aire, notée $\cal{A}'$, du triangle $ECF$.
\item On note $S$ la somme, en fonction de $x$, des deux aires
$\cal{A}$ et $\cal{A}'$. Vérifie que $S=x^2+2x-1$.
\end{enumerate}
\item Calcule $S$ pour $x=2+\sqrt2$. On donnera le résultat sous la
forme $c+d\sqrt2$, où $c$ et $d$ sont des nombres entiers.
\end{myenumerate}