exo16.tex

%@P:exocorcp
%@metapost: 303dme05.mp
\par\compo{1}{303dme05}{1}{\paragraph{Partie A} La figure ci-contre
représente une calotte sphérique de centre $O$, de rayon $r$ et de
hauteur $h$. Le volume d'un tel solide est donné par la formule
suivante
\[{\cal V}=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)\]
\begin{myenumerate}
\item Si une calotte sphérique a pour rayon $r=15$~cm et pour hauteur
$h=20$~cm, quel est son volume ?
\item Si une calotte sphérique a pour hauteur $h=9$~cm et pour volume
${\cal V}=81\pi$~cm$^3$, quel est son rayon ?
\item Si une calotte sphérique a pour hauteur $h=10$~cm et pour rayon
$r=6$~cm, quel est le rayon $r_1$ du cercle de section ?
\end{myenumerate}
}
\par\compo{2}{303dme05}{1}{\paragraph{Partie B}Un aquarium a la forme
d'une sphère de 16~cm de rayon coupée par deux plans
parallèles. Ces plans sont situés respectivement à 12,8~cm et
9,6~cm du centre.
\begin{myenumerate}
\item Calcule l'aire des disques de section en fonction de $\pi$.
\item Calcule le volume de l'aquarium. On donnera la valeur exacte
puis une valeur approchée au mm$^3$ près.
\end{myenumerate}
}
%@Correction:
\paragraph{Partie A}\hfill\newline
\begin{multicols}{3}
\begin{myenumerate}
  \item \[\Eqalign{
\mathscr{V}&=\frac{\pi\times 20^2}3\times(3\times15-20)\cr
\mathscr{V}&=\frac{400\pi}3\times25\cr
\mathscr{V}&=\frac{10\,000\pi}3~\mbox{cm}^3\cr
}\]
\columnbreak
\item \[\Eqalign{
\mathscr{V}&=\frac{\pi\times9^2}3\times(3r-9)\cr
81\pi&=\frac{81\pi}3\times(3r-9)\cr
81\pi&=27\pi\times(3r-9)\cr
3&=3r-9\cr
12&=3r\cr
4&=r\cr
}\]
\columnbreak
\item\setboolean{racine}{true}\pythadroit OIM64
\end{myenumerate}
\end{multicols}
\paragraph{Partie B}
\begin{myenumerate}
  \item\begin{multicols}{2} \pythadroit MIO{16}{12,8} Donc le rayon du 1\ier\ disque est
    \opprint{a4}~cm et son aire est $\pi\times\opprint{a4}^2=\opmul*{a4}{a4}{b}\opprint{b}\pi$~cm$^2$.
    \par \pythadroit NJO{16}{9,6} Donc le rayon du 2\ieme\ disque est
    \opprint{a4}~cm et son aire est
    $\pi\times\opprint{a4}^2=\opmul*{a4}{a4}{b}\opprint{b}\pi$~cm$^2$.
    \end{multicols}
  \item La partie inférieure enlevée avait un volume $\mathscr{V}_1$
    et la partie supérieure enlevée avait un volume
    $\mathscr{V}_2$. Ils sont égaux à
    \[\Eqalign{
      \mathscr{V}_1&=\frac43\times\pi\times16^3-\frac{\pi\times28,8^2}3\times(3\times16-28,8)\kern0.05\linewidth&\mathscr{V}_2&=\frac43\times\pi\times16^3-\frac{\pi\times25,6^2}3\times(3\times16-25,6)\cr
      \mathscr{V}_1&=\frac{16\,384\pi}3-\frac{829,44\pi}3\times19,2&\mathscr{V}_2&=\frac{16\,384\pi}3-\frac{655,36\pi}3\times22,4\cr
      \mathscr{V}_1&=\frac{16\,384\pi}3-\frac{15\,925,248\pi}3&\mathscr{V}_2&=\frac{16\,384\pi}3-\frac{14\,680,064\pi}3\cr
      \mathscr{V}_1&=\frac{458,752\pi}3~\mbox{cm}^3&\mathscr{V}_2&=\frac{1\,703,936\pi}3~\mbox{cm}^3\cr
    }\]
Donc le volume de l'aquarium est
\[\Eqalign{
\mathscr{V}_{\mbox{aquarium}}&=\frac43\pi\times16^3-\mathscr{V}_1-\mathscr{V}_2\cr
\mathscr{V}_{\mbox{aquarium}}&=\frac{16\,384\pi}3-\frac{458,752\pi}3-\frac{1\,703,936\pi}3\cr
\mathscr{V}_{\mbox{aquarium}}&=\frac{14\,221,312\pi}3~\mbox{cm}^3\cr
\mathscr{V}_{\mbox{aquarium}}&\approx14\,892,523~\mbox{mm}^3\cr
}\]
\end{myenumerate}