exo28.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:4
On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=8$~cm et $AC=6$~cm.
\begin{myenumerate}
\item Exprime, en fonction de $\pi$ :
  \begin{enumerate}
  \item le volume ${\cal V}_1$ engendré par ce triangle tournant autour 
du côté $[AB]$;
  \item le volume ${\cal V}_2$ engendré par ce triangle tournant autour 
du côté $[AC]$;
  \item le volume ${\cal V}_3$ engendré par ce triangle tournant autour 
du côté $[BC]$.
  \end{enumerate}
\item Vérifie que 
\[\frac1{{\cal V}_1^2}+\frac1{{\cal V}_2^2}=\frac1{{\cal V}_3^2}\]
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Le solide engendré est un cône de rayon $AC$ et de hauteur $AB$.
\[\Eqalign{
{\cal V}_1&=\frac13\pi\times AC^2\times AB\cr
{\cal V}_1&=\frac13\pi\times6^2\times8\cr
{\cal V}_1&=\frac96\pi~\mbox{cm}^3\cr\cr
}\]
    \item Le solide engendré est un cône de rayon $AB$ et de hauteur $AC$.
\[\Eqalign{
{\cal V}_2&=\frac13\pi\times AB^2\times AC\cr
{\cal V}_2&=\frac13\pi\times8^2\times6\cr
{\cal V}_2&=\frac128\pi~\mbox{cm}^3\cr\cr
}\]
\item En appelant $H$ le pied de la hauteur issue de $A$, le solide engendré est un assemblage de 2 cônes : un de rayon $AH$ et de hauteur $HB$ et un de rayon $AH$ et de hauteur $HC$.
\begin{multicols}{2}
\par\pythahypo BAC86\par
\columnbreak
Calculons $AH$.
\[\Eqalign{
\frac{AH\times BC}2&=\frac{AB\times AC}2\cr
\frac{AH\times 10}2&=\frac{8\times6}2\cr
5AH&=24\cr
AH&=4,8~\mbox{cm}\cr
}\]
\end{multicols}
\[\Eqalign{
{\cal V}_3&=\frac13\pi\times AH^2\times HB+\frac13\pi\times AH^2\times HC\cr
{\cal V}_3&=\frac13\pi\times AH^2\times (HB+HC)\cr
{\cal V}_3&=\frac13\pi\times AH^2\times BC\cr
{\cal V}_3&=\frac13\pi\times 4,8^2\times 10\cr
{\cal V}_3&=76,8\pi~\mbox{cm}^3\cr
}\]
    \end{enumerate}
  \item \[\Eqalign{
&\frac1{{\cal V}_1^2}+\frac1{{\cal V}_2^2}\cr
&\frac1{(96\pi)^2}+\frac1{(128\pi)^2}\cr
&\frac1{9216\pi^2}+\frac1{16384\pi^2}\cr
&\frac{16384\pi^2}{9216\pi^2\times16384\pi^2}+\frac{9216\pi^2}{9216\pi^2\times16384\pi^2}\cr
&\frac{25600\pi^2}{9216\pi^2\times16384\pi^2}\cr
&\frac{25600}{76,8^2\times25600\pi^2}\mbox{ en se laissant guider par l'énoncé.}\cr
&\frac1{(76,8\pi)^2}\cr
&\frac1{{\cal V}_3^2}\cr
}\]
\end{myenumerate}