exo40.tex

%@P:exocorcp
%@metapost: 301dm08.mp
\par\compo{1}{301dm08}{1}{Un cube $ABCDEFGH$ a pour côté 6~cm. $J$ est
le point de l'arête $[CG]$ tel que $GJ=4$~cm. On coupe $\cal P$ la
pyramide de sommet $G$ et de base $BCD$ par le plan passant par $J$ et
parallèle à cette base. On obtient la section $JKL$.
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quel est le volume de la pyramide $\cal P$ ?
\item Dessine un patron de cette pyramide.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
}
\begin{myenumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On admet que la pyramide $LKJG$ est une réduction de la pyramide
  $\cal P$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le coefficient de cette réduction ? Explique {\em
    clairement la réponse}.
\item Quel est le volume de la pyramide $LKJG$ ? Explique la réponse.
\item Déduis-en le volume du solide $DBCJLK$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $JKL$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la longueur $JK$.
\item Dessine la section $JKL$ en vraie grandeur.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%}
%@Commentaire: Reprise et complément de l'exercice \verb+exo2+.
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item\[\Eqalign{
        \mathscr V&=\frac13\times\frac{CB\times CD}2\times GC\cr
        \mathscr V&=\frac13\times\frac{6\times6}2\times6\cr
        \mathscr V&=36~\mbox{cm}^3\cr
        }\]
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Le coefficient de réduction est $k=\dfrac{GJ}{GC}=\dfrac46=\dfrac23$.
    \item Le volume de la pyramide $LKJG$ est
      \[\mathscr V_1=\mathscr V\times\left(\frac23\right)^3=36\times\frac8{27}=\frac{32}3~\mbox{cm}^3\]
      Le volume du solide $DBCJLK$ est
\[\mathscr V_2=\mathscr V-\mathscr V_1=36-\frac{32}3=\frac{108}3-\frac{32}3=\dfrac{76}3~\mbox{cm}^3\]
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme la pyramide $\cal P$ a été coupée par un plan
      parallèle à sa base alors le triangle $JKL$ est un triangle
      rectangle isocèle en $J$.
    \item $JK=\dfrac23\times BC=4$~cm.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}