%@P:exocorcp \begin{myenumerate} \item Construis un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=5$~cm et $\widehat{ABC}=60\degres$. \item \begin{enumerate} \item Montre que la longueur $BC$ mesure 10~cm. \item Calcule alors la longueur $AC$. \end{enumerate} \item Soit $E$ le point du segment $[BA]$ tel que $BE=2$~cm. Soit $F$ et $G$ les points du segment $[BC]$ tels que $BF=1,5$~cm et $CG=6$~cm. \\Les droites $(EF)$ et $(GA)$ sont-elles parallèles ? Justifie. \item \begin{enumerate} \item Les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont-elles parallèles ? Justifie. \item Les droites $(GE)$ et $(BA)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifie. \item Est-il vrai que $EG=\sqrt{10}$ ? Justifie. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item \[\includegraphics{3geoplaneexo21.1}\] \item \begin{enumerate} \item Dans le triangle $ABC$, rectangle en $A$, on a : \[\Eqalign{ \cos\widehat{ABC}&=\frac{AB}{BC}\cr \cos60&=\frac5{BC}\cr BC&=\frac5{\cos60}\cr BC&=10~\mbox{cm}\cr }\] \item \setboolean{racine}{true}\pythahypo CAB{10}{5} \end{enumerate} \item Dans le triangle $BAG$, $E$ appartient à la droite $(BA)$ et $F$ appartient à la droite $(BG)$. \[\left. \begin{array}{l} \dfrac{BE}{BA}=\dfrac25=\dfrac{16}{40}\\ \\ \dfrac{BF}{BG}=\dfrac{1,5}4=\dfrac{15}{40}\\ \end{array} \right\}\frac{BE}{BA}\not=\frac{BF}{BG}\] Les droites $(EF)$ et $(GA)$ ne sont pas parallèles. \item \begin{enumerate} \item Dans le triangle $BAC$, $E$ appartient à la droite $(BA)$ et $G$ appartient à la droite $(BC)$. \[\left. \begin{array}{l} \dfrac{BE}{BA}=\dfrac25\\ \\ \dfrac{BG}{BC}=\dfrac4{10}=\dfrac25\\ \end{array} \right\}\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BG}\] De plus, les points $B$, $E$, $A$ et $B$, $G$, $C$ sont alignés dans le même ordre. Donc les droites $(EG)$ et $(AC)$ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès. \item Comme les droites $(AC)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires et que les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont parallèles alors les droites $(AB)$ et $(GE)$ sont perpendiculaires. \item \setboolean{racine}{true}\pythadroit GEB{4}{2}\par Donc $EG\not=\sqrt{10}$. \end{enumerate} \end{myenumerate}