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Source de exo21.tex

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%@P:exocorcp
\begin{myenumerate}
\item Construis un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=5$~cm
  et $\widehat{ABC}=60\degres$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que la longueur $BC$ mesure 10~cm.
\item Calcule alors la longueur $AC$.
\end{enumerate}
\item Soit $E$ le point du segment $[BA]$ tel que $BE=2$~cm. Soit $F$
et $G$ les points du segment $[BC]$ tels que $BF=1,5$~cm et
$CG=6$~cm.
\\Les droites $(EF)$ et $(GA)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
\item
\begin{enumerate}
\item Les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
\item Les droites $(GE)$ et $(BA)$ sont-elles perpendiculaires ?
  Justifie.
\item Est-il vrai que $EG=\sqrt{10}$ ? Justifie.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \[\includegraphics{3geoplaneexo21.1}\]
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Dans le triangle $ABC$, rectangle en $A$, on a :
      \[\Eqalign{
        \cos\widehat{ABC}&=\frac{AB}{BC}\cr
        \cos60&=\frac5{BC}\cr
        BC&=\frac5{\cos60}\cr
        BC&=10~\mbox{cm}\cr
      }\]
    \item \setboolean{racine}{true}\pythahypo CAB{10}{5}
    \end{enumerate}
  \item Dans le triangle $BAG$, $E$ appartient à la droite $(BA)$ et
    $F$ appartient à la droite $(BG)$.
    \[\left.
      \begin{array}{l}
        \dfrac{BE}{BA}=\dfrac25=\dfrac{16}{40}\\
        \\
        \dfrac{BF}{BG}=\dfrac{1,5}4=\dfrac{15}{40}\\
      \end{array}
    \right\}\frac{BE}{BA}\not=\frac{BF}{BG}\]
    Les droites $(EF)$ et $(GA)$ ne sont pas parallèles.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Dans le triangle $BAC$, $E$ appartient à la droite $(BA)$ et
    $G$ appartient à la droite $(BC)$.
    \[\left.
      \begin{array}{l}
        \dfrac{BE}{BA}=\dfrac25\\
        \\
        \dfrac{BG}{BC}=\dfrac4{10}=\dfrac25\\
      \end{array}
    \right\}\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BG}\]
    De plus, les points $B$, $E$, $A$ et $B$, $G$, $C$ sont alignés
    dans le même ordre. Donc les droites $(EG)$ et $(AC)$ sont
    parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
  \item Comme les droites $(AC)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires et
    que les droites $(AC)$ et $(GE)$ sont parallèles alors les droites
    $(AB)$ et $(GE)$ sont perpendiculaires.
  \item \setboolean{racine}{true}\pythadroit GEB{4}{2}\par Donc $EG\not=\sqrt{10}$.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}