%@P:exocorcp %@Dif:3 {\em Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.} \par Soit $x$ un nombre positif et $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB=9x+6$ et $AC=12x+8$. \begin{myenumerate} \item Exprime $BC^2$ en fonction de $x$. \item Exprime, en fonction de $x$, l'aire $\cal A$ du triangle $ABC$. \item Calcule, en centimètres carrés, la valeur exacte de cette aire lorsque $x=\sqrt3$~cm. \item Le triangle $ABC$ peut-il être isocèle ? Pourquoi ? \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ BC^2&=AB^2+AC^2\cr BC^2&=(9x+6)^2+(12x+8)^2\cr BC^2&=81x^2+108x+36+144x^2+192x+64\cr BC^2&=225x^2+300x+100\cr }\] \item \[\Eqalign{ {\cal A}&=\frac{AB\times AC}2\cr {\cal A}&=\frac{(9x+6)(12x+8)}2\cr {\cal A}&=\frac{108x^2+72x+72x+48}2\cr {\cal A}&=54x^2+72x+24\cr }\] \item Pour $x=\sqrt3$, on a \[{\cal A}=54x^2+72x+24=54\times\sqrt3^2+72\sqrt3+24=54\times3+72\sqrt3+24=186+72\sqrt3\] \item Si c'est un triangle isocèle, alors c'est forcément en $A$. Par conséquent, \[\Eqalign{ AB&=AC\cr 9x+6&=12x+8\cr 6&=3x+8\cr -2&=3x\cr -\frac23&=x\cr } \] Comme $x$ doit être un nombre positif alors le triangle $ABC$ ne peut pas être isocèle. \end{myenumerate} %@Commentaire: Calcul littéral et résolution d'équation. Utilisation du calcul littéral dans {\em un autre contexte}.