%@P:exocorcp %@metapost: 303dm05.mp \par\compo{1}{303dm05}{1}{Dans le triangle ci-contre, la droite $(AM)$ est une médiane et la droite $(AH)$ est une hauteur. Les points $B$, $M$, $H$ et $C$ sont alignés. \par L'unité de longueur étant le centimètre, on pose \[BM=CM=3,\,AH=2\mbox{ et } MH=x\] \begin{myenumerate} \item Exprime $AB^2$, $AC^2$, et $AM^2$ en fonction de $x$. \item \begin{enumerate} \item Exprime $AB^2+AC^2$ en fonction de $x$. \item Exprime $2AM^2+\dfrac12BC^2$ en fonction de $x$. \item Que peut-on dire de ces deux expressions ? \end{enumerate} \end{myenumerate} } %@Correction: \begin{myenumerate} \item \begin{multicols}{3} Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ AB^2&=AH^2+HB^2\cr AB^2&=2^2+(3+x)^2\cr AB^2&=4+9+6x+x^2\cr AB^2&=x^2+6x+13\cr }\] \par\columnbreak\par Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ AC^2&=AH^2+HC^2\cr AC^2&=2^2+(3-x)^2\cr AC^2&=4+9-6x+x^2\cr AC^2&=x^2-6x+13\cr }\] \par\columnbreak\par Dans le triangle $AHM$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ AM^2&=AH^2+HM^2\cr AM^2&=2^2+x^2\cr AM^2&=x^2+4\cr }\] \end{multicols} \item \begin{enumerate} \item $AB^2+AC^2=x^2+6x+13+x^2-6x+13=2x^2+26$. \item $2AM^2+\dfrac12BC^2=2(x^2+4)+\dfrac12\times6^2=2x^2+8+18=2x^2+26$ \item Ces deux expressions sont égales. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Commentaire: Théorème de la médiane : démonstration sous forme littérale.