%@P:exocorcp %@Dif:4 \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Développe $(x^2+x+1)(x^3+1)$. \item Exprime le nombre 111\,111 sous la forme d'une somme de puissances de 10. \item Déduis-en deux entiers naturels différents de 1 dont le produit est égal à 111\,111. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Développe $(x^3+x^2+x+1)(x^4+1)$. \item Déduis-en deux entiers naturels différents de 1 dont le produit est égal à 11\,111\,111. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Développe $(x^2-x+1)(x+1)$. \item Déduis-en deux entiers naturels différents de 1 dont le produit est égal à 1\,001. \end{enumerate} \item En développant \[(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)\] trouve deux entiers naturels différents de 1 dont le produit est égal à 100\,001. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item $(x^2+x+1)(x^3+1)=x^5+x^2+x^4+x+x^3+1=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$. \item $111\,111=10^5+10^4+10^3+10^2+10+1$. \item D'après la question a., on prend $x=111$ et $y=1\,001$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $(x^3+x^2+x+1)(x^4+1)=x^7+x^3+x^6+x^2+x^5+x+x^4+1=x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$. \item Comme $11\,111\,111=10^7+10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10+1$ alors on prend $x=1\,111$ et $y=10\,001$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $(x^2-x+1)(x+1)=x^3+x^2-x^2-x+x+1=x^3+1$. \item Comme $1\,001=10^3+1$ alors on prend $x=91$ et $y=11$. \end{enumerate} \item $(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)=x^5+x^4-x^4-x^3+x^3+x^2-x^2-x+x+1=x^5+1$. Comme $100\,001=10^5+1$ alors on prend $x=9091$ et $y=11$. \end{myenumerate} %@Commentaire: Exercice qui demande de traduire des calculs littéraux en réponses numériques. On approfondit un peu la notion du développement.