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%@P:exocorcp
%@Dif:4
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développe $(x^2+x+1)(x^3+1)$.
\item Exprime le nombre 111\,111 sous la forme d'une somme de
puissances de 10.
\item Déduis-en deux entiers naturels différents de 1 dont le produit
est égal à 111\,111.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développe $(x^3+x^2+x+1)(x^4+1)$.
\item Déduis-en deux entiers naturels différents de 1 dont le produit
est égal à 11\,111\,111.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développe $(x^2-x+1)(x+1)$.
\item Déduis-en deux entiers naturels différents de 1 dont le produit
est égal à 1\,001.
\end{enumerate}
\item En développant
\[(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)\]
trouve deux entiers naturels différents de 1 dont le produit est égal
à 100\,001.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $(x^2+x+1)(x^3+1)=x^5+x^2+x^4+x+x^3+1=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$.
    \item $111\,111=10^5+10^4+10^3+10^2+10+1$.
    \item D'après la question a., on prend $x=111$ et $y=1\,001$.
    \end{enumerate}
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item $(x^3+x^2+x+1)(x^4+1)=x^7+x^3+x^6+x^2+x^5+x+x^4+1=x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$.
    \item Comme $11\,111\,111=10^7+10^6+10^5+10^4+10^3+10^2+10+1$ alors on prend $x=1\,111$ et $y=10\,001$
    \end{enumerate}
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item $(x^2-x+1)(x+1)=x^3+x^2-x^2-x+x+1=x^3+1$.
    \item Comme $1\,001=10^3+1$ alors on prend $x=91$ et $y=11$.
    \end{enumerate}
  \item $(x^4-x^3+x^2-x+1)(x+1)=x^5+x^4-x^4-x^3+x^3+x^2-x^2-x+x+1=x^5+1$. Comme $100\,001=10^5+1$ alors on prend $x=9091$ et $y=11$.
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice qui demande de traduire des calculs littéraux en réponses numériques. On approfondit un peu la notion du développement.