exo45.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:4
%@Titre: Produit de quatre nombres entiers naturels consécutifs.
On considère quatre nombres entiers naturels consécutifs : $n$, $n+1$, $n+2$ et $n+3$.
\begin{myenumerate}
  \item Démontre que $(n+1)(n+2)=n(n+3)+2$.
  \item On pose $a=(n+1)(n+2)$.
    \begin{enumerate}
    \item Exprime le produit $n(n+3)$ en fonction de $a$.
    \item Déduis-en que $n(n+1)(n+2)(n+3)=a^2-2a$.
    \end{enumerate}
  \item Utilise la question précédente pour démontrer la propriété suivante :
      \begin{quote}
        \og{}Le produit de quatre nombres entiers naturels consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait.\fg{}
      \end{quote}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item Expressions à développer.
  \item 
    \begin{enumerate}
      \setcounter{enumii}{1}
    \item En augmentant de 1, on obtient
\[n(n+1)(n+2)(n+3)+1=\ldots\]
et une factorisation {\em simple} permet de conclure.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}