%Tremplin 3eme %@P:exocorcp %@Dif:5 Démontre que si la somme des inverses de trois nombres non nuls est nulle alors le carré de la somme de ces trois nombres est égal à la somme des carrés de ces trois nombres. %@Correction: Soit trois nombres non nuls $x$, $y$ et $z$. On sait que $\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=0$ ou en réduisant au même dénominateur \[\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\] Cela prouve qu'alors $yz+xz+xy=0$. \par Donc \[\Eqalign{ (x+y+z)^2&=(x+y)^2+2(x+y)z+z^2\cr (x+y+z)^2&=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2\cr (x+y+z)^2&=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\cr (x+y+z)^2&=x^2+y^2+z^2+2\underbrace{(xy+yz+zx)}_{=0}\cr (x+y+z)^2&=x^2+y^2+z^2\cr }\]